Funció derivada

Quan un vol tenir informació de la derivada en tots els punts al mateix temps, un no pot calcular la derivada punt a punt, ja que n'hi ha infinits. S'ha de recórrer llavors a la funció derivada.

La funció derivada assigna a cada punt $x$ el valor de la derivada en aquest punt. Es defineix de la manera següent: $$\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

Vegeu el següent exemple:

$$\displaystyle f(x)=x^2$$

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^2+2x\Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+2x=2x$$ Per tant, $f '(x) = 2x$.

Donada $f(x)=x(3x-1)$ es calcula la derivada de la manera següent: $$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)(3(x+\Delta x)-1)-x(3x-1)}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x+\Delta x)^2-(x+\Delta x)-3x^2+x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2)-3x^2-\Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6x\Delta x+3\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x}=6x-1$$