Derivades parcials

Sabem que la derivada d'una funció d'una variable en un punt ens dóna el pendent de la recta tangent a la funció en aquest punt. Això vol dir que sabem la rapidesa de creixement/decreixement de la funció en aquest punt.

Ara suposem que tenim una funció $f$ que depèn de més d'una variable, per exemple $f(x,y)=-x^2+2xy-y$.

En ser una funció de dues variables, la gràfica és una superfície, i per tant hi ha infinites direccions entre les que podem estudiar el creixement.

Doncs bé, les derivades parcials ens indicaran també el pendent d'una recta concreta tangent a la superfície. Abans, però, aprendrem a calcular derivades parcials, ja que és un metodologia a la que després donarem sentit.

Per calcular una derivada parcial d'una funció en diverses variables, hem de derivar com sempre respecte una de les variables i mantenir les altres com a constants, (com a valors fixos).

En el nostre exemple $f(x,y)=-x^2+2xy-y$, si volem fer la derivada parcial respecte $x$, considerem la variable $y$ com una constant, "un nombre", i el que queda serà com derivar una funció d'una variable, $f(x)$. Vegem-ho:

$-x^2$ només depèn de $x$; per tant, la seva derivada és $-2x$.

$2xy$ conté la variable $y$, però és como si fos una constant, un nombre. Si fos un $3$ faríem $2x3=6x$, i la derivada seria $6$. Doncs ara escric $2xy$ com a $2yx$ i considero $2y$ com si fos el $6$. Per tant, la derivada de $2xy=2yx$ és $2y$.

I finalment, $y$ no conté la variable $x$, i la derivada d'una constant és $0$. Per tant, desapareix.

Ara només ens falta saber la notació per poder escriure-ho matemàticament. Per a la derivada parcial d'una funció $f$ respecte la variable $x$, podem trobar les notacions:

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}$$ $$\delta_x f$$ $$f_x$$

Així, la nostra derivada parcial respecte $x$ de $f(x,y)=-x^2+2xy-y$ s'escriu

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=-2x+2y-0=2x+2y$$ $$\delta_x f=-2x+2y$$ $$f_x=-2x+2y$$

I ara us preguntareu: També podem fer la derivada parcial respecte $y$, no? Doncs clar que sí.

Fem el càlcul de $\dfrac{\delta f}{\delta y}$, amb el qual ens imaginem que $x$ és una constant.

$-x^2$ no conté la variable $y$, i com abans, és com si tinguéssim simplement una constant. La seva derivada és $0$.

$2xy$ conté la variable $x$, però és com si fos una constant, un nombre. Per tant, la derivada de $2xy$ és $2x$.

I finalment, com que estem derivant respecte $y$, la derivada de $y$ és $1$.

Així, $$\dfrac{\delta f}{\delta y}=\delta_y f=f_y=2x-1$$

Interpretació geomètrica de la derivada parcial

Però què significa geomètricament el càlcul d'una derivada parcial? Vegem el següent exemple:

En aquest gràfic tenim una superfície $z=f(x,y)$ de la qual estem fent la derivada parcial respecte la variable $x$ en un punt $x_0,y_0,z_0$. Hem vist que fer la parcial respecte $x$ significa deixar la variable $y$ com a constant. Mantenir el valor fix $y=y_0$ ens dóna com a resultat un pla que passa pel punt $y_0$. Construïm llavors el pla que sigui paral·lel a l'eix $x$. Aquest pla talla la nostra superfície. A la corba intersecció considerem la recta tangent en el punt $x_0,y_0,z_0$. La derivada parcial ens donarà el pendent d'aquesta recta.

Si en la nostra funció d'exemple $f(x,y)=-x^2+2xy-y$ volem el valor del pendent de la recta tangent a la superfície en el punt $3,1$ en la direcció de l'eix $x$, ens queda

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=-2x+2y$$ $$\dfrac{\delta f(3,1)}{\delta x}=(-2)·3+2·1=-6+2=-4$$

En una funció $z=f(x,y)$, la derivada parcial respecte $y$ es representaria gràficament seguint l'exemple gràfic:

Ara el valor constant és $x=x_0$, i el pla és paral·lel a l'eix $y$.

En la nostra funció d'exemple, si volem saber el pendent en la direcció $y$ en el punt $(0,1)$, obtenim

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=2x-1$$ $$\dfrac{\delta f(0,1)}{\delta y}=-1$$

i veiem que la inclinació de la superfície en aquest punt i en la direcció ja comentada és descendent.

En definitiva, que quan calculem les derivades parcials $\dfrac{\delta f}{\delta x}$ o $\dfrac{\delta f}{\delta y}$ en el punt $x_0,y_0,z_0$, el valor que obtenim és el pendent de la superfície en la direcció de l'eix $x$ o de l'eix $y$, respectivament.

Definició formal de derivada parcial

La definició formal de derivada parcial segueix sent el càlcul d'un límit, com amb la derivada d'una funció d'una variable.

Sigui $U$ un subconjunt obert de $\mathbb{R}^n$ i una funció $f: \ U \rightarrow R$. Definim la derivada parcial de $f$ en el punt $p\in U$, $p=p_1,...,p_n$, respecte la variable $x_i$ com a

$$\dfrac{\delta f(p)}{\delta x_i}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(p_1,...,p_{i-1},p_i+h,p_{i+1},...,p_n)-f(p_1,...,p_n)}{h}$$

Exemples de càlcul de derivades parcials

Per a una bona realització s'han de tenir presents dues coses: les regles de derivació en una variable i saber imaginar-nos com a constants les variables que corresponguin en cada cas. Veuràs com és qüestió de pràctica.

Donada la funció $f(x,y)=\sqrt{x^3+y^2}$, calcula $f_x(1,1)$.

Reescric $f(x,y)=(x^3+y^2)^{\frac{1}{2}}$ com ho fèiem per derivar arrels quan només hi havia una variable. Ara pensem en $y$ com una constant i derivem fent servir les regles habituals:

$$f_x=\dfrac{1}{2}(x^3+y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot3x^2=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^2}}$$

Per saber el pendent en el punt $(1,1)$, substituïm

$$f_x (1,1)=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$$

Donada la funció $f(x,y)=\dfrac{2xy-y}{x^2+y}$, calcula la derivada parcial respecte $x$ i $y$.

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=\dfrac{2y(x^2+y)-(2xy-y)2x}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2yx^2+2y^2-4x^2y+2xy}{(x^2+y)^2}=\dfrac{-2x^2y+2xy+2y^2}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2(-x^2y+xy+y^2)}{(x^2+y)^2}$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=\dfrac{(2x-1)(x^2+y)-(2xy-y)}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2x^3+2xy-x^2-y-2xy+y}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2x^3-x^2}{(x^2+y)^2}$$

Donada la funció $f(x,y,z)=x^2y^3-2xyz^3$, calcula el pendent de la recta tangent al punt $(1,-1,1)$ en les direccions dels eixos $x$, $y$ i $z$.

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=2xy^3-2yz^3$$ $$\dfrac{\delta f(1,-1,1)}{\delta x}=2\cdot1\cdot(-1)^3-2\cdot(-1)\cdot1^3=0$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=3x^2y^2-2xz^3$$ $$\dfrac{\delta f(1,-1,1)}{\delta y}=3-2=1$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta z}=-6xyz^2$$ $$\dfrac{\delta f(1,-1,1)}{\delta z}=6$$

Donada la funció $f(x,y,z)=\dfrac{2z}{y+\sin(x)}$ calcula les derivades parcials respecte $x$, $y$ i $z$.

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=\dfrac{-2z\cos(x)}{(y+\sin(x))^2}$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=\dfrac{-2z}{(y+\sin(x))^2}$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta z}=\dfrac{2(y+\sin(x))-2z\cdot0}{(y+\sin(x))^2}=\dfrac{2(y+\sin(x))}{(y+\sin(x))^2}=\dfrac{2}{y+\sin(x)}$$

Més aplicacions de la derivada parcial

Arribats en aquest punt, potser has pensat en alguna altra informació que podrien proporcionar les derivades parcials. I és que també podem interpretar que la derivada parcial mesura la rapidesa de canvi de la variable que derivem respecte a la variable que deixem fixa. Així podem mesurar com canvia $y$ quan deixem $x$ fixa i al revés. Vegem un exemple.

Imaginem una placa solar rectangular tal que en zones diferents absorbeix quantitats diferents de llum solar i per tant cada cèl·lula produeix una quantitat diferent d'energia. Tenim una relació tal que, en un punt $(x,y)$ de la placa, la potència d'energia generada la podem deduir amb la relació $$E(x,y)= \dfrac{3}{10}xy + y$$

Les unitats de $x$ i $y$ són centímetres i la potència d'energia $E$ es mesura en watts. ¿Com varia la potència energètica $E$ en el centre de la placa, $(65,120)$, quan $x$ roman fixa en els $65$ cm?

Per saber-ho hem de calcular $E_y(65,120)$. $$E_y=\dfrac{3}{10}x+1 \Rightarrow E_y(65,120)=20,5$$

Així sabem que situats sobre el punt $x=65$, $y=120$ la potència energètica augmenta a mesura que avancem en la direcció de l'eix $y$, ja que la derivada parcial en aquesta direcció és positiva. A més, la potència energètica generada augmentarà amb una rapidesa de $20,5$ W.