Derivadas parciales

Sabemos que la derivada de una función de una variable en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esto significa que sabemos la rapidez de crecimiento/decrecimiento de la función en ese punto.

Ahora supongamos que tenemos una función $f$ que depende de más de una variable, por ejemplo $f(x,y)=-x^2+2xy-y$.

Al ser una función de dos variables la gráfica es una superficie, y entonces hay infinitas direcciones entre las que estudiar el crecimiento.

Pues bien, las derivadas parciales nos indicarán también la pendiente de una recta concreta tangente a la superficie. Antes, pero, vamos a aprender a calcular derivadas parciales, ya que es un metodologia a la que luego le daremos sentido.

Para calcular una derivada parcial de una función en diversas variables tenemos que derivar como siempre respecto una de las variables y mantener las demás como constantes, (como valores fijos).

En nuestro ejemplo $f(x,y)=-x^2+2xy-y$, si queremos hacer la derivada parcial respecto $x$, consideramos la variable $y$ como una constante, "un número", y entonces nos queda como derivar una función de una variable, $f(x)$. Veamos:

$-x^2$ sólo depende de $x$, por lo tanto su derivada es $-2x$.

$2xy$ contiene la variable $y$, pero es como si fuera una constante, un número. Si fuera un $3$ haríamos $2x3=6x$ y la derivada sería $6$. Pues ahora escribo $2xy$ como $2yx$ y considero $2y$ como si fuera el $6$. Por lo tanto la derivada de $2xy=2yx$ es $2y$.

Y finalmente, $y$ no contiene la variable $x$, y la derivada de una constante es $0$, con lo que desaparece.

Ahora sólo nos falta saber la notación para poder escribirlo correcto matemáticamente. Para la derivada parcial de una función $f$ respecto la variable $x$ podemos encontrarnos las notaciones:

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}$$ $$\delta_x f$$ $$f_x$$

Así, nuestra derivada parcial respecto $x$ de $f(x,y)=-x^2+2xy-y$ se escribe

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=-2x+2y-0=2x+2y$$ $$\delta_x f=-2x+2y$$ $$f_x=-2x+2y$$

Y ahora os preguntaréis, ¿también podemos hacer la derivada parcial respecto $y$ no? Pues claro.

Hacemos el cálculo de $\dfrac{\delta f}{\delta y}$, con lo cual nos imaginamos que $x$ es una constante.

$-x^2$ no contiene la variable $y$, y como entonces es como si tuviéramos simplemente una constante, su derivada es $0$.

$2xy$ contiene la variable $x$, pero es como si fuera una constante, un número. Por lo tanto la derivada de $2xy$ es $2x$.

Y finalmente, como estamos derivando respecto $y$, la derivada de $y$ es $1$.

Así $$\dfrac{\delta f}{\delta y}=\delta_y f=f_y=2x-1$$

Interpretación geométrica de la derivada parcial

¿Pero qué es lo que significa geométricamente el cálculo de una derivada parcial? Veamos el siguiente ejemplo:

En este gráfico tenemos una superficie $z=f(x,y)$ de la cual estamos haciendo la derivada parcial respecto la variable $x$ en un punto $x_0,y_0,z_0$. Hemos visto que hacer la parcial respecto $x$ significa dejar la variable $y$ como constante. Mantener el valor fijo $y=y_0$ nos da como resultado un plano que pasa por el punto $y_0$. Construimos entonces el plano que sea paralelo al eje $x$. Este plano corta nuestra superfície. En la curva intersección consideramos la recta tangente en el punto $x_0,y_0,z_0$. La derivada parcial nos dará la pendiente de esta recta.

Si en nuestra función de ejemplo $f(x,y)=-x^2+2xy-y$ queremos el valor de la pendiente de la recta tangente a la superficie en el punto $3,1$ en la dirección del eje $x$ nos queda

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=-2x+2y$$ $$\dfrac{\delta f(3,1)}{\delta x}=(-2)·3+2·1=-6+2=-4$$

En una función $z=f(x,y)$, la derivada parcial respecto $y$ se representaría gráficamente siguiendo el ejemplo gráfico:

Ahora el valor constante es $x=x_0$ y el plano es paralelo al eje $y$.

En nuestra función de ejemplo, si queremos saber la pendiente en la dirección $y$ en el punto $(0,1)$ obtenemos

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=2x-1$$ $$\dfrac{\delta f(0,1)}{\delta y}=-1$$

con lo que la inclinación de la superfície en este punto y en la dirección ya comentada es descendiente.

En definitiva, que cuando calculamos las derivadas parciales $\dfrac{\delta f}{\delta x}$ y $\dfrac{\delta f}{\delta y}$ en el punto $x_0,y_0,z_0$ el valor que obtenemos es la pendiente de la superficie en la dirección del eje $x$ o del eje $y$, respectivamente.

Definición formal de derivada parcial

La definición formal de derivada parcial sigue siendo el cálculo de un límite, como la derivada de una función de una variable.

Sea $U$ un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y una función $f: \ U \rightarrow R$. Definimos la derivada parcial de $f$ en el punto $p\in U$, $p=p_1,...,p_n$, respecto la variable $x_i$ como

$$\dfrac{\delta f(p)}{\delta x_i}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(p_1,...,p_{i-1},p_i+h,p_{i+1},...,p_n)-f(p_1,...,p_n)}{h}$$

Ejemplos de cálculo de derivadas parciales

Para una buena realización hay que tener en mente dos cosas: las reglas de derivación en una variable y saber imaginarnos las variables que correspondan en cada caso como constantes. Verás como es cuestión de práctica.

Dada la función $f(x,y)=\sqrt{x^3+y^2}$ calcula $f_x(1,1)$.

Reescribo $f(x,y)=(x^3+y^2)^{\frac{1}{2}}$ como lo hacíamos para derivar raíces cuando había solamente una variable. Ahora pensamos en $y$ como una constante y derivamos usando las reglas habituales

$$f_x=\dfrac{1}{2}(x^3+y^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot3x^2=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^2}}$$

Para saber la pendiente en el punto $(1,1)$ sustituimos

$$f_x (1,1)=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$$

Dada la función $f(x,y)=\dfrac{2xy-y}{x^2+y}$ calcula la derivada parcial respecto $x$ e $y$.

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=\dfrac{2y(x^2+y)-(2xy-y)2x}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2yx^2+2y^2-4x^2y+2xy}{(x^2+y)^2}=\dfrac{-2x^2y+2xy+2y^2}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2(-x^2y+xy+y^2)}{(x^2+y)^2}$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=\dfrac{(2x-1)(x^2+y)-(2xy-y)}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2x^3+2xy-x^2-y-2xy+y}{(x^2+y)^2}=\dfrac{2x^3-x^2}{(x^2+y)^2}$$

Dada la función $f(x,y,z)=x^2y^3-2xyz^3$ calcula la pendiente de la recta tangente al punto $(1,-1,1)$ en las direcciones de los ejes $x$, $y$ e $z$.

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=2xy^3-2yz^3$$ $$\dfrac{\delta f(1,-1,1)}{\delta x}=2\cdot1\cdot(-1)^3-2\cdot(-1)\cdot1^3=0$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=3x^2y^2-2xz^3$$ $$\dfrac{\delta f(1,-1,1)}{\delta y}=3-2=1$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta z}=-6xyz^2$$ $$\dfrac{\delta f(1,-1,1)}{\delta z}=6$$

Dada la función $f(x,y,z)=\dfrac{2z}{y+\sin(x)}$ calcula las derivadas parciales respecto $x$, $y$ e $z$.

$$\dfrac{\delta f}{\delta x}=\dfrac{-2z\cos(x)}{(y+\sin(x))^2}$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta y}=\dfrac{-2z}{(y+\sin(x))^2}$$

$$\dfrac{\delta f}{\delta z}=\dfrac{2(y+\sin(x))-2z\cdot0}{(y+\sin(x))^2}=\dfrac{2(y+\sin(x))}{(y+\sin(x))^2}=\dfrac{2}{y+\sin(x)}$$

Más aplicaciones de la derivada parcial

Llegados a este punto a lo mejor has pensado en otra información que podrían proporcionar las derivadas parciales. Y es que también podemos interpretar que la derivada parcial mide la rapidez de cambio de la variable que derivamos respecto a la variable que dejamos fija. Así podemos medir como cambia $y$ cuando dejamos $x$ fija y al revés. Veamos un ejemplo.

Imaginemos una placa solar rectangular tal que en zonas distintas absorbe cantidades diferentes de luz solar y por lo tanto cada celda produce una cantidad distinta de energía. Tenemos una relación tal que en un punto $(x,y)$ de la placa la potencia de energía generada la podemos deducir con la relación $$E(x,y)= \dfrac{3}{10}xy + y$$

Las unidades de $x$ e $y$ son centímetros y la potencia de energía $E$ en Watts. ¿Cómo varía la potencia energética $E$ en el centro de la placa, $(65,120)$, cuando $x$ permanece fija en los $65$ cm?

Para saberlo tenemos que calcular $E_y(65,120)$. $$E_y=\dfrac{3}{10}x+1 \Rightarrow E_y(65,120)=20,5$$

Así sabemos que situados sobre el punto $x=65$, $y=120$ la potencia energética aumenta a medida que avanzamos en la dirección del eje $y$ ya que la derivada parcial en esta dirección es positiva. Además la potencia energética generada aumentará con una rapidez de $20,5$ W.