Derivada en un punt

En la definició de taxa de variació mitjana es fa èmfasi en considerar un interval $[a,a+\Delta x]$ qualsevol. Un pot preguntar-se què passa quan fem aquest interval tan infinitament petit com sigui possible. És a dir, situant-nos en un punt $a$ qualsevol, l'amplada de l'interval $\Delta x$ es fa infinitament petita. El resultat és la definició de derivada en un punt $a$.

$$\displaystyle f'(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$

(Llegiu: La derivada en el punt $a$ és igual al límit quan $\Delta x$ tendeix a zero, del quocient $\displaystyle \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$).

Seguint l'exemple anterior, es pot buscar la derivada de la funció $y=x^2$ en el punt $a=3$.

Recorrem a la seva definició: $$\displaystyle y=f(x)=x^2 \Rightarrow f'(3)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3+\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=$$

$$\displaystyle=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(3+\Delta x)^2-3^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(9+6\Delta x+\Delta x^2)-9}{\Delta x}=$$

$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^2+6\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+6=6$$ Quan fem el límit $\Delta x$ tendeix a $0$, el resultat és: $f '(3) = 6$.

Vegem alguns exemples.

Trobar la derivada en $x=0$ de les següents funcions:

$$f(x)=x(3x-1)$$

$$\displaystyle f'(0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(0+\Delta x)(3(0+\Delta x)-1)-0(3 \cdot 0-1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0}3\Delta x-1=-1$$

$$f(x)=\sin x $$

$$\displaystyle f '(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x-\sin0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x }{\Delta x}=1$$

En l'últim pas s'ha de saber que $\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \ldots$