Derivada en un punto

En la definición de tasa de variación media se hace hincapié en considerar un intervalo $[a,a+\Delta x]$ cualquiera. Uno puede preguntarse qué sucede cuando hacemos ese intervalo tan infinitamente pequeño como sea posible. Es decir, situándonos en un punto $a$ cualquiera, la anchura del intervalo $\Delta x$ se hace infinitamente pequeña. El resultado es la definición de derivada en un punto $a$.

$$\displaystyle f'(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$

(Léase: La derivada en el punto $a$ ies igual al límite cuando $\Delta x$ tiende a infinito, del cociente $\displaystyle \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$).

Siguiendo el ejemplo anterior, se puede buscar la derivada de la función $y=x^3$ en el punto $a=3$.

Recurrimos a su definición: $$\displaystyle y=f(x)=x^2 \Rightarrow f'(3)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(3+\Delta x)-f(3)}{\Delta x}=$$

$$\displaystyle=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(3+\Delta x)^2-3^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(9+6\Delta x+\Delta x^2)-9}{\Delta x}=$$

$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^2+6\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+6=6$$ Cuando hacemos el límite $\Delta x$ tiende a $0$, el resultado es: $f '(3) = 6$.

Veamos algunos ejemplos.

Encontrar la derivada en $x=0$ de las siguientes funciones:

$$f(x)=x(3x-1)$$

$$\displaystyle f'(0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(0+\Delta x)(3(0+\Delta x)-1)-0(3 \cdot 0-1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0}3\Delta x-1=-1$$

$$f(x)=\sin x $$

$$\displaystyle f '(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x-\sin0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x }{\Delta x}=1$$

En el último paso debe saberse que $\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \ldots$