Derivada de la divisió de dues funcions
Ara introduim la regla de la divisió. A partir de la següent taula intenta deduir-la:
| $f (x)$ | $f'(x)$ |
| $\dfrac{x-1}{x}$ | $\dfrac{(1)x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$ |
| $\dfrac{x^3}{x-2}$ | $\dfrac{3x^2(x-2)-x^3\cdot 1}{(x-2)^2}$ |
| $\dfrac{x}{x+2}$ | $\dfrac{1(x+2)-x \cdot 1}{(x+2)^2}$ |
| $\dfrac{3x^5}{2x+1}$ | $\dfrac{15x^4(2x+1)-3x^5(2)}{(2x+1)^2}$ |
| $\dfrac{g(x)}{h(x)}$ | ? |
Si has estat capaç de deduir la regla del quocient comprova el teu resultat amb l'enunciat que segueix:
La derivada del quocient de dues funcions és la derivada del dividend pel divisor menys el dividend per la derivada del divisor i dividit tot això entre el divisor al quadrat. Matemàticament és sens dubte més clar:
$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$$
Vegem uns exemples:
Sigui $f(x)=\dfrac{x^2+x}{3x-1}$
Identifiquem $g (x) =x^2+x$ i $h (x) = 3x-1$. Apliquem la regla del quocient, $f'(x)=\frac{(2x+1)(3x-1)-(x^2+x)3}{(3x-1)^2}$
Ara un exemple conegut $f(x)=\dfrac{x+2}{x^5}$
Ara $g(x)=x+2$ i $h(x)=x^5$. Apliquem la regla del quocient, $f'(x)=\frac{1\cdot x^5-(x+2)5x^4}{(x^5)^2}$