Derivada de la división de dos funciones

Ahora introducimos la regla de la división. A partir de la seguiente tabla intenta deduirla:

$f (x)$ $f'(x)$
$\dfrac{x-1}{x}$ $\dfrac{(1)x-(x-1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{1}{x^2}$
$\dfrac{x^3}{x-2}$ $\dfrac{3x^2(x-2)-x^3\cdot 1}{(x-2)^2}$
$\dfrac{x}{x+2}$ $\dfrac{1(x+2)-x \cdot 1}{(x+2)^2}$
$\dfrac{3x^5}{2x+1}$ $\dfrac{15x^4(2x+1)-3x^5(2)}{(2x+1)^2}$
$\dfrac{g(x)}{h(x)}$ ?

Si has sido capaz de deducir la regla del cociente comprueba tu resultado con el enunciado que sigue:

La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la dividendo por el divisor menos el dividendo por la derivada del divisor y dividido todo ello entre el divisor al cuadrado. Matemáticamente es sin duda más claro:

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$$

Veamos algunos ejemplos:

Sea $f(x)=\dfrac{x^2+x}{3x-1}$

Identificamos $g (x) =x^2+x$ y $h (x) = 3x-1$. Apliquemos pues la regla del cociente, $f'(x)=\frac{(2x+1)(3x-1)-(x^2+x)3}{(3x-1)^2}$

Ahora un ejemplo conocido $f(x)=\dfrac{x+2}{x^5}$

Ahora $g(x)=x+2$ y $h(x)=x^5$. Apliquemos pues la regla del cociente, $f'(x)=\frac{1\cdot x^5-(x+2)5x^4}{(x^5)^2}$

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