Concavitat i convexitat

L'anàlisi d'una funció requereix també poder determinar la concavitat o convexitat per intervals. En altres paraules es tracta de determinar el tipus de curvatura de la funció.

Diem que una funció $f$ és còncava en un interval $(a,b)$ si per a tot $x \in (a,b) f''(x)<0$ . D'altra banda, direm que una funció $f$ és convexa en un interval $(a,b)$ si per a tot $x \in (a,b) f''(x)>0$.

Però, com podem trobar els intervals de concavitat i convexitat?

Estudi de la concavitat d'una funció

1. Es troba la segona derivada de $f (x)$ i també les seves arrels

$$f(x)=3x^3-6x+1 \Rightarrow f'(x)=9x^2-6 \Rightarrow f''(x)=18x \\ f''(x)=18x=0 \Rightarrow x=0$$

2. Separem per intervals limitats pels zeros de la segona derivada acabats de trobar i les discontinuïtats de la funció (si n'hi ha)

En aquest cas, hi haurà només dos intervals, separats en el zero. És a dir, els números negatius formen un interval i els positius altre.

3. Es pren un valor qualsevol de cada interval i es determina la derivada segona en aquest valor:

$f''(-1)=-18 <0 \Rightarrow$ Còncava

$f''(1)= 18>0 \Rightarrow$ Convexa

És a dir, si en un punt de l'interval la derivada segona és negativa, la curvatura es diu còncava, i si en un punt d'un interval la derivada segona és positiva, la curvatura es diu convexa.

4. Es dóna la concavitat dels intervals.

L' interval dels nombres negatius és còncau, mentre que el dels positius és convex.

Sigui $f(x)=x^5-2x^2+3x$

1. $f''(x)=20x^3-4 \\ f''(x)=0 \Rightarrow x \approx 0.58$
2. Hi ha dos intervals: $(- \infty, 0.58), \ (0.58, \infty)$
3. Es tria un punt qualsevol de cada interval:

$f''(0)=-4 < 0 \Rightarrow$ Còncava

$f''(1)=16 > 0 \Rightarrow $ Convexa

4. Es dóna el resultat

$(-\infty, 0.58)$ Còncau

$(0.58, \infty)$ Convex