Concavidad y convexidad

El análisis de una función requiere también poder determinar la concavidad o convexidad por intervalos. En otras palabras se trata de determinar el tipo de curvatura de la función.

Decimos que una función $f$ es cóncava en un intervalo $(a,b)$ si para todo $x \in (a,b) f''(x)<0$ . Por el contrario, diremos que una función $f$ es convexa en un intervalo $(a,b)$ si para todo $x \in (a,b) f''(x)>0$.

Pero, ¿cómo podemos encontrar los intervalos de concavidad y convexidad?

Estudio de la concavidad de una función

1. Se halla la segunda derivada de $f(x)$ y se hallan también sus raíces

$$f(x)=3x^3-6x+1 \Rightarrow f'(x)=9x^2-6 \Rightarrow f''(x)=18x \\ f''(x)=18x=0 \Rightarrow x=0$$

2. Separamos por intervalos limitados por los ceros de la segunda derivada acabados de encontrar y las discontinuidades de la función (si las hay)

En este caso, habrá solo dos intervalos, separados en el cero. Es decir, los números negativos forman un intervalo y los positivos otro.

3. Se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se determina la derivada segunda en ese valor:

$f''(-1)=-18 <0 \Rightarrow$ Cóncava

$f''(1)= 18>0 \Rightarrow$ Convexa

Es decir, si en un punto del intervalo la derivada segunda es negativa, la curvatura se llama cóncava; si en un punto de un intervalo la derivada segunda es positiva, la curvatura se llama convexa.

4. Se da la concavidad de los intervalos.

El intervalo de los números negativos es cóncavo, mientras que el de los positivos es convexo.

Sea $f(x)=x^5-2x^2+3x$

1. $f''(x)=20x^3-4 \\ f''(x)=0 \Rightarrow x \approx 0.58$
2. Hay dos intervalos: $(- \infty, 0.58), \ (0.58, \infty)$
3. Se elige un punto cualquiera de cada intervalo:

$f''(0)=-4 < 0 \Rightarrow$ Cóncava

$f''(1)=16 > 0 \Rightarrow $ Convexa

4. Se da el resultado

$(-\infty, 0.58)$ Cóncavo

$(0.58, \infty)$ Convexo