Continuïtat lateral

D'una manera menys estricta podem definir la continuïtat lateral, per l'esquerra i per la dreta.

Una funció és contínua en el punt $x=a$ per la dreta si: $$\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$$ i diem que és contínua en el punt $x=a$ per l'esquerra si: $$\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=f(a)$$ Podem veure a continuació un exemple de funció contínua per l'esquerra però no per la dreta en el punt $x=1$

Vegem uns exemples per entendre millor el concepte:

Prenguem la funció $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x < 1 \\ -x & \mbox{ si } & x \geq 1 \end{array}\right.$ i estudiem la continuïtat lateral en $x=1$:

Continuïtat lateral per la dreta: $$\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} -x= -1$$ i la funció en $x=1$ val $f(1)=-1$, de manera que la funció és contínua per la dreta.

Continuïtat lateral per l'esquerra: $$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1} x=1$$ i la funció en $x=1$ val $f(1)=-1$, de manera que la funció no és contínua per l'esquerra.

Observem que les funcions que són contínues en un punt, són contínues per la dreta i per l'esquerra, o dit al revés, que quan la continuïtat lateral coincideix per la dreta i per l'esquerra, diem que la funció és contínua en el punt.