Continuidad lateral

De una manera menos estricta podemos definir la continuidad lateral, por la izquierda y por la derecha.

Una función es continua en el punto $x=a$ por la derecha si: $$\displaystyle \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$$ y decimos que es continua en el punto $x=a$ por la izquierda si: $$\displaystyle \lim_{x \to a^-}f(x)=f(a)$$ Podemos ver a continuación un ejemplo de función continua por la izquierda pero no por la derecha en el punto $x=1$

Veamos unos ejemplos para entender mejor el concepto:

Tomemos la función $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x < 1 \\ -x & \mbox{ si } & x \geq 1 \end{array}\right.$ y estudiemos la continuidad lateral en $x=1$:

Continuidad lateral por la derecha: $$\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1} -x= -1$$ y la función en $x=1$ vale $f(1)=-1$, por lo que la función es continua por la derecha.

Continuidad lateral por la izquierda: $$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1} x=1$$ y la función en $x=1$ vale $f(1)=-1$, por lo que la función no es continua por la izquierda.

Observamos que las funciones que son continuas en un punto, son continuas por la derecha y por la izquierda, o dicho al revés, que cuando la continuidad lateral coincide por la derecha y por la izquierda, decimos que la función es continua en el punto.