Continuïtat en un interval tancat i teorema de Weierstrass
Dir si es compleix el teorema de Weierstrass en els següents exemples i trobar el màxim absolut i el mínim absolut en l'últim cas:
a) $f(x)= \sqrt{x}$ definida en l'interval $[-2,3.4]$
b) $\displaystyle f(x)=\frac{2^{\sqrt{x}-\ln x}}{4x^2+5+e^x}$ definida en l'interval $[1,4.666666\ldots]$
c) $\displaystyle f(x)=3x^3+x$ definida en l'interval $(2,4)$
d) $f(x)=x^2+1$ definida en l'interval $[0,1]$
a) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat.
b) Tenim una funció contínua ja que per als punts on està definida no hi ha cap divisió per zero i no avaluem el logaritme en punts menors o iguals a zero i a més està definida en un interval tancat.
c) L'interval no és tancat.
d) Tenim una funció contínua definida en un interval tancat. A més, la funció és estrictament creixent en el seu interval de definició de manera que trobarem els màxims i mínims absoluts en els extrems.
Observem doncs que: $f(0)=1$ i $f(1)=2$, pel que en $x=0$ tenim mínim aboslut i en $x=1$ tenim màxim absolut.
a) Es compleix el teorema.
b) Es compleix el teorema.
c) No es compleix el teorema.
d) Es compleix el teorema i tenim mínim absolut en $x=0$ i màxim absolut en $x=1$.