Equació de la circumferència I: equació reduïda

S'anomena circumferència al lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'un punt fix anomenat centre. A la distància se l'anomena radi.

Aquesta propietat és la clau per trobar l'expressió analítica d'una circumferència.

Vegem com:

Una circumferència de centre $C = ( a, b)$ i radi $r$, està formada per tots els punts $P = (x, y)$ la distància al centre és $r$.

Expressant això en forma d'equació matemàtica tenim: $$\displaystyle d(C,P)=d((a,b),(x,y))= \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} =r$$ Elevant al quadrat aquesta equació obtenim l'equació reduïda de la circumferència: $$\displaystyle d(C,P)^2=\Big( \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} \Big)^2=(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Pel que qualsevol expressió del tipus $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ és una circumferència de radi $r$ i centre el punt $(a, b)$.

$ (x-1)^2+(y-2)^2=3^2$ és una circumferència de radi $3$ i centrada en el punt $(1, 2)$.

Quan considerem una circumferència centrada en l'origen, estem agafant $C = (0, 0)$ i per tant l'equació és $x^2+y^2=r^2$.

$x^2+y^2=4^2$ stà centrada en l'origen i té radi $4$.

La circumferència amb centre en l'origen i radi 1 s'anomena circumferència unitat.

Si per exemple volem escriure l'equació d'una circumferència centrada en el punt $(-8, 0)$ i amb diàmetre $36$, el procediment és:

Calculem el radi: $$\displaystyle r=\frac{\mbox{diameter}}{2}=\frac{36}{2}=18$$

Substituïm els paràmetres en l'equació de la circumferència, amb $r=18$ i $C = (-8, 0)$: $$\displaystyle (x-(-8)^2)+(y-0)^2=18^2 \Rightarrow (x+8)^2+y^2=18^2$$ I ja tenim l'equació.