Ecuación de la circunferencia I: ecuación reducida

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A la distancia se le denomina radio.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia.

Veamos como:

Una circunferencia de centro $C = ( a, b)$ y radio $r$, está formada por todos los puntos $P = (x, y)$ cuya distancia al centro es $ r$.

Expresando esto en forma de ecuación matemática tenemos: $$\displaystyle d(C,P)=d((a,b),(x,y))= \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} =r$$ Elevando al cuadrado esta ecuación obtenemos la ecuación reducida de la circunferencia: $$\displaystyle d(C,P)^2=\Big( \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} \Big)^2=(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Por lo que cualquier expresión del tipo $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ es una circunferencia de radio $r$ y centro el punto $(a, b)$.

$ (x-1)^2+(y-2)^2=3^2$ es una circunferencia de radio $3$ y centrada en el punto $(1, 2)$.

Cuando consideramos una circunferencia centrada en el origen, estamos cogiendo $C = (0, 0)$ y por lo tanto la ecuación es $x^2+y^2=r^2$.

$x^2+y^2=4^2$ está centrada en el origen y tiene radio $4$.

La circunferencia con centro en el origen y radio 1 se llama circunferencia unidad.

Si por ejemplo queremos escribir la ecuación de una circunferencia centrada en el punto $(-8, 0)$ y con diámetro $36$, el procedimiento es:

Calculamos el radio: $$\displaystyle r=\frac{\mbox{diameter}}{2}=\frac{36}{2}=18$$

Sustituimos los parámetros en la ecuación de la circunferencia, con $r=18$ y $C = (-8, 0)$: $$\displaystyle (x-(-8)^2)+(y-0)^2=18^2 \Rightarrow (x+8)^2+y^2=18^2$$ Y ya tenemos la ecuación.