Equació de l'el·lipse amb centre (x0, y0) i focus paral·lels a l'eix x
Ara el centre de l'el·lipse ja no és l'origen del pla sinó que es troba en un punt $C$ al qual definim com $C=(x_0,y_0)$.
En aquest cas considerarem que l'eix focal és paral·lel a l'eix d'abscisses, i per tant els focus estan en les coordenades $F' (x_0-c,y_0)$ i $F(x_0+c,y_0)$.
Aplicant aquests focus en la definició general de l'el·lipse $$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$ s'obté l'expressió $$\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}+\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}=2a$$
En restar l'arrel, i elevant al quadrat: $$\Big(\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0-c)+(y-y_0)}\Big)^2$$ $$(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-x)^2+(y-y_0)^2}+(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2$$ $$(x-x_0)^2+2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2= 4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}+$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2-2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2$$
Simplificant i dividint per quatre: $$4(x-x_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$ $$(x-x_0)c=a^2-a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$
En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$(a^2-c(x-x_0))^2=\Big(a \sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2$$ $$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2\Big)$$ $$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0)^2-2c(x-x_0)+c^2+(y-y_0)^2\Big)$$ $$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2=a^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^2c^2+a^2(y-y_0)^2$$ $$c^2(x-x_0)^2-a^2(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2=a^2c^2-a^4$$ $$(c^2-a^2)(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2= a^2(c^2-a^2)$$
Es divideix llavors per $a^2(c^2-a^2)$ per obtenir un 1 a la dreta: $$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$ $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{(c^2-a^2)}=1$$
Aplicant la definició $a^2=b^2+c^2$, $-b^2=c^2-a^2$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada: $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$
Per tant l'equació és $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$ i el dibuix corresponent és:
Troba l'equació de l'el·lipse centrada en el $(4,2)$ i amb focus $(7,2)$ amb semieix major $5$.
Per calcular $c$ només cal que a la component $x$ del focus li restem la component $x$ del centre, així doncs $c=7-4=3$.
També sabem que $a=5$ per l'enunciat, així doncs mitjançant la relació $a^2=b^2+c^2$ btenim que $$b^2=5^2-3^2=25-9=16$$ $$b=4$$ Per tant substituint en l'equació s'ha de l'expressió de l'el·lipse en qüestió és: $$\displaystyle \frac{(x-4)^2}{5^2}+\frac{(y-2)^2}{4^2}=1$$