Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje x
Ahora el centro de la elipse ya no es el origen del plano sino que se encuentra en un punto $C$ al que le definimos como $C=(x_0,y_0)$.
En este caso consideraremos que el eje focal es paralelo al eje de abscisas, y por lo tanto los focos están en las coordenadas $F' (x_0-c,y_0)$ y $F(x_0+c,y_0)$.
Aplicando estos focos en la definición general de la elipse $$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$ se obtiene la expresión $$\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}+\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}=2a$$
Al restar la raíz, y elevando al cuadrado: $$\Big(\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0-c)+(y-y_0)}\Big)^2$$ $$(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-x)^2+(y-y_0)^2}+(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2$$ $$(x-x_0)^2+2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2= 4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}+$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2-2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2$$
Simplificando y dividiendo por cuatro: $$4(x-x_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$ $$(x-x_0)c=a^2-a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$(a^2-c(x-x_0))^2=\Big(a \sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2$$ $$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2\Big)$$ $$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2= a^2\Big((x-x_0)^2-2c(x-x_0)+c^2+(y-y_0)^2\Big)$$ $$a^4-2a^2c(x-x_0)+c^2(x-x_0)^2=a^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^2c^2+a^2(y-y_0)^2$$ $$c^2(x-x_0)^2-a^2(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2=a^2c^2-a^4$$ $$(c^2-a^2)(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2= a^2(c^2-a^2)$$
Se divide entonces por $a^2(c^2-a^2)$ para obtener un 1 a la derecha: $$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$ $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{(c^2-a^2)}=1$$
Aplicando la definición $a^2=b^2+c^2$, $-b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada: $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$
Por lo tanto la ecuación es $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$ y el dibujo correspondiente es:
Hallemos la ecuación de la elipse centrada en el $(4,2)$ y con focos $(7,2)$ con semieje mayor $5$.
Para calcular $c$ solo hace falta que a la componente $x$ del foco le restemos la componente $x$ del centro, así pues $c=7-4=3$.
También sabemos que $a=5$ por el enunciado, así pues mediante la relación $a^2=b^2+c^2$ obtenemos que $$b^2=5^2-3^2=25-9=16$$ $$b=4$$ Por lo tanto sustituyendo en la ecuación se tiene que la expresión de la elipse en cuestión es: $$\displaystyle \frac{(x-4)^2}{5^2}+\frac{(y-2)^2}{4^2}=1$$