Permutacions amb repetició

Les permutacions amb repetició de $n$ elements en què el primer element es repeteix $n_1$ vegades, el segon $n_2$ vegades... i l'últim es repeteix $n_r$ vegades, són els diferents grups de $n$ elements que es poden fer de manera que en cada grup, cada element aparegui el nombre de vegades indicat. A més, dos grups es diferencien únicament en l'ordre de la col·locació. Es representa per $P_n^{n_1, \ldots, n_r}$.

Per a saber quantes permutacions amb repetició de $n$ elements, on el primer element es repeteix $n_1$ vegades, el segon $n_2$ vegades... i l'últim es repeteix $n_r$ vegades, ve donat per la següent fórmula: $$\displaystyle P_n^{n_1, \ldots, n_r}=\frac{n!}{n_1! \ldots n_r!}$$ Per entendre-ho millor, considerem el següent exemple:

Volem saber quantes nombres de cinc xifres hi ha en els que el 2 aparegui una vegada, el 7 dues vegades i el 9 dues vegades també. En aquest cas es té: $n = 5$, $n_1= 1,n_2 = 2$ i $n_3 = 2$.

Algunes possibilitats són: $27799, 72799, 92977, 92779, 77992, 72979$... però n'hi ha moltes més, i per trobar-les totes es podria trigar molt de temps.

No obstant això, mitjançant la fórmula anterior se sap ràpidament que el nombre de possibilitats és 30: $$\displaystyle P_5^{1,2,2}=\frac{5!}{1!2!2!}$$