Factorials i nombres combinatoris

La combinatòria és la branca de les matemàtiques que es dedica a buscar mètodes per comptar elements d'un conjunt o la manera d'agrupar elements d'un conjunt.

Per exemple,

Si hi ha un grup de $5$ nois, Alexandre, Bernat, Carlos, David i Ernesto, dels quals se n'han de triar $2$ per a realitzar una tasca determinada. Ara ens preguntem: de quantes maneres tenim per escollir aquests dos nois?

Una elecció podria ser Alejandro i Carlos, o també David i Bernat. Però si s'haguessin de provar totes les possibilitats a mà, es trigaria molt de temps! No obstant això, l'anàlisi combinatòria ens ajudarà. De fet, és molt ràpid calcular la solució del nostre exemple (resulta que hi ha $10$ possibilitats diferents).

Aquests són dos conceptes bàsics en l'anàlisi combinatòria, és a dir, el factoial i els nombres combinatoris.

Direm al nombre resultant de multiplicar tots els nombres des de l'$1$ fins a $n$, el factorial del nombre $n$. Per escriure'l s'utilitza el símbol $n!$. És a dir: $$n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$$

$$1!=1 \\ 3!=3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\ 4!= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1= 24$$

Per definició, es diu que el factorial de $0$ és $1$, és a dir: $0!=1$

D'altra banda, anomenem el que hi ha a continuació el nombre combinatori $n$ sobre $k$ :$$\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

Per exemple, el nombre combinatori $4$ sobre $3$ és: $$\displaystyle \binom{4}{2}=\frac{4!}{2! (4-2)!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=\frac{4 \cdot 3 \cdot \not{2} \cdot \not{1}}{\not{2} \cdot \not{1} \cdot 2 \cdot 1}=3 \cdot 2 =6$$

Com en l'exemple, per facilitar els càlculs és molt recomanable simplificar les fraccions primer de tot, perquè així s'eviten molts càlculs.