Factorial y números combinatorios

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar métodos para contar elementos de un conjunto o la forma de agrupar elementos de un conjunto.

Por ejemplo,

Si hay un grupo de $5$ chicos, Alejandro, Bernardo, Carlos, David y Ernesto, de los cuales se deben elegir $2$ para realizar una tarea determinada. Ahora nos preguntamos: ¿cuántas maneras tenemos para escoger estos dos chicos?

Una elección podría ser Alejandro y Carlos, o también David y Bernardo. Pero si se tuvieran que probar todas las posibilidades a mano, ¡se tardaría mucho tiempo! No obstante, con ayuda de la combinatoria, como se verá más adelante, es muy rápido calcularlo: resulta que hay $10$ posibilidades diferentes).

Éstos son dos conceptos básicos en el análisi combinatorio, es decir, el factorial y los números combinatorios.

Llamaremos al resultado de multiplicar todos los números desde el $1$ hasta $n$, el factorial del número $n$. Para escribirlo se hace mediante el símbolo $n!$. Es decir: $$n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 1$$

$$1!=1 \\ 3!=3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\ 4!= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1= 24$$

Por definición, se dice que el factorial de $0$ es $1$, es decir: $0!=1$

Por otro lado, llamamos a lo siguiente el número combinatorio $n$ sobre $k$ :$$\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

Por ejemplo, el número combinatorio $4$ sobre $3$ es: $$\displaystyle \binom{4}{2}=\frac{4!}{2! (4-2)!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=\frac{4 \cdot 3 \cdot \not{2} \cdot \not{1}}{\not{2} \cdot \not{1} \cdot 2 \cdot 1}=3 \cdot 2 =6$$

Como en el ejemplo, para facilitar los cálculos es muy recomendable simplificar las fracciones antes que nada, porque así se evitan muchos cálculos.