Equacions amb nombres factorials i nombres combinatoris

Veiem ara equacions que contenen factorials o números combinatoris en general. Poden ser equacions senzilles o especialment difícils, per la qual cosa s'ha de tenir certa cura quan es generen. Vegem primer com es resol una equació senzilla.

$$x!=72\cdot(x-2)!$$ Passem la $x$ al primer membre de l'equació i desenvolupem els factorials. $$\begin{array}{rcl} \dfrac{x!}{(x-2)!} &=& 72 \\ \dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}&=& 72 \\ x(x-1)=x^2-x&=&72 \end{array}$$

amb el que hem de resoldre l'equació de segon grau:

$$x^2-x-72=0$$

$$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4\cdot72}}{2}=\dfrac{1\pm17}{2}$$

$x_1=9$, $\ x_2=-8$

Descartem la solució negativa, ja que no té sentit parlar del factorial d'un nombre negatiu. Amb el que la solució que ens demanen serà doncs $x = 9$.

Vegem un altre exemple una mica més complicat. Resoldre: $$\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} =x+1$$

Apliquem al primer membre la fórmula de Stifel: $$\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = x+1$$

i desenvolupem el nombre combinatori: $$\begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{(x+1)!}{3!(x-2)!} = \dfrac{(x+1)\cdot x \cdot (x-1)\cancel{(x-2)}}{3!\cancel{(x-2)!}} =x+1$$

Simplificant $(x+1)$ a ambdós membres queda l'equació de segon grau: $$x^2-x=-6 \ \Rightarrow \ x^2-x-6=0$$

que passem a resoldre: $$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2} \Rightarrow x_1=3, \ x_2=-2$$

Com hem fet abans descartem la solució negativa per no tenir sentit, de manera que la resposta és $x=3$.

Com dèiem al principi, construir una equació en què intervinguin factorials o números combinatoris és quelcom delicat. En aquest últim exemple anem a veure una manera de fer-ho.

Comencem decidint qual serà la solució de l'equació. Per exemple $x = 1$. L'equació més senzilla possible amb aquesta solució és $x - 1 = 0$. Elevem ambdós membres al quadrat i anem introduint nous elements:

$$\begin{array} {rcl} (x-1)^2&=&0 \\ x^2-2x+1&=&0 \\ x(x-2)+1&=&0 \\ x(x-2)&=&-1 \\ \dfrac{x!}{(x-1)!}\cdot\dfrac{(x-2)!}{(x-3)!}&=&-1 \\ x!(x-2)!&=&-(x-1)!(x-2)! \end{array}$$