Ecuaciones con números factoriales y números combinatorios

Vamos a ver ahora ecuaciones que contienen factoriales o números combinatorios en general. Pueden ser ecuaciones sencillas o especialmente difíciles, por lo que se ha de tener cierto cuidado cuando se generan. Veamos primero como se resuelve una ecuación sencilla.

$$x!=72\cdot(x-2)!$$ Pasamos la $x$ al primer miembro de la ecuación y desarrollamos los factoriales. $$\begin{array}{rcl} \dfrac{x!}{(x-2)!} &=& 72 \\ \dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}&=& 72 \\ x(x-1)=x^2-x&=&72 \end{array}$$

con lo que debemos resolver la ecuación de segundo grado:

$$x^2-x-72=0$$

$$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4\cdot72}}{2}=\dfrac{1\pm17}{2}$$

$x_1=9$, $\ x_2=-8$

Rechazamos la solución negativa, ya que no tiene sentido hablar del factorial de un número negativo. Con lo que la solución pedida será pues $x = 9$.

Veamos otro ejemplo algo más complicado. Resolver: $$\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} =x+1$$

Aplicamos al primer miembro la fórmula de Stifel: $$\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = x+1$$

y desarrollamos el número combinatorio: $$\begin{pmatrix} x+1 \\ 3 \end{pmatrix} = \dfrac{(x+1)!}{3!(x-2)!} = \dfrac{(x+1)\cdot x \cdot (x-1)\cancel{(x-2)}}{3!\cancel{(x-2)!}} =x+1$$

Simplificando $(x+1)$ en ambos miembros queda la ecuación de segundo grado: $$x^2-x=-6 \ \Rightarrow \ x^2-x-6=0$$

que pasamos a resolver: $$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2} \Rightarrow x_1=3, \ x_2=-2$$

Como hicimos antes rechazamos la solución negativa por carecer de sentido, con lo que la respuesta es $x=3$.

Como decíamos al principio, construir una ecuación en la que intervengan factoriales o números combinatorios es algo delicado. En este último ejemplo vamos a ver una manera de hacerlo.

Empezamos decidiendo cual va a ser la solución de la ecuación. Por ejemplo $x = 1$. La ecuación más sencilla posible con esta solución es $x - 1 = 0$. Elevamos ambos miembros al cuadrado y vamos introduciendo nuevos elementos:

$$\begin{array} {rcl} (x-1)^2&=&0 \\ x^2-2x+1&=&0 \\ x(x-2)+1&=&0 \\ x(x-2)&=&-1 \\ \dfrac{x!}{(x-1)!}\cdot\dfrac{(x-2)!}{(x-3)!}&=&-1 \\ x!(x-2)!&=&-(x-1)!(x-2)! \end{array}$$