El factorial d'un nombre

Considerem un nombre enter positiu qualsevol, per exemple el $5$, i fem la següent multiplicació:

$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$

És a dir, el producte de tots els enters positius que són menors que $5$.

A aquest resultat se l'anomena factorial de cinc i s'indica posant un signe d'admiració al costat del número cinc: $5!$ i es llegeix dient "cinc factorial".

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$

Altres exemples serien:

• Tres factorial: $ 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6$
• Vuit factorial: $8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320$
• Quatre factorial: $4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24$

Totes les calculadores científiques tenen una tecla que permet fer aquest càlcul. Sol estar indicada amb una ics seguida el signe d'admiració $x!$. De manera que el que cal fer per calcular el factorial d'un nombre és escriure aquest número a la calculadora i després prémer la tecla $x!$.

Quan es tracta de números grans l'expressió factorial és llarga i es pot escurçar mitjançant punts suspensius.

Per exemple: $$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$ també el podem escriure d'aquesta manera: $$8! = 8\cdot7 \cdot \ldots \cdot 2\cdot1$$

Per escriure, per exemple, $54!$ n'hi ha prou amb escriure uns quants números del principi i altres del final separats per punts suspensius: $$54! = 54\cdot53\cdot52 \cdot \ldots \cdot 3\cdot2\cdot1$$

Estem ara en condicions de donar la definició general del factorial d'un nombre. El factorial d'un nombre enter positiu $n$ es defineix com: $$ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$

Lògicament $1! = 1$. El que ja no sembla tan lògic és que $0! = 1$, però s'adopta per conveni. De manera que per al càlcul de factorials és important recordar que $1! = 1$ i $0! = 1$.

És fàcil observar, utilitzant una calculadora, que el factorial d'un nombre creix de forma gairebé exponencial, és a dir que creix molt de pressa.

$$10! = 3628800$$

$$15! = 1307674368000$$

$$20! = 2432902008176640000$$

Pel que pot ser difícil evitar càlculs molestos quan s'estan fent operacions amb factorials.

Una propietat dels factorials, que pot ser útil per simplificar fraccions, és: $$n! = n \cdot (n-1)!$$

Per exemple, ja hem vist que el factorial de $8$

$$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$

Podem associar els factors de la manera: $$8 \cdot (7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)$$

el grup que està entre parèntesi és precisament $7!$. De manera que podem escriure: $$8! = 8 \cdot (7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1) = 8\cdot7!$$

$$7! = 7\cdot6!$$

$$11! = 11\cdot10\cdot9!$$

$$x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)!$$