El factorial de un número

Tomemos un número entero positivo cualquiera, por ejemplo el $5$, y hagamos la siguiente multiplicación:

$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$

Es decir, el producto de todos los enteros positivos que son menores que $5$.

A este resultado se le llama factorial de cinco y se indica poniendo un signo de admiración al lado del número cinco: $5!$ y se lee diciendo "cinco factorial".

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$$

Otros ejemplos serían:

• Tres factorial: $ 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6$
• Ocho factorial: $8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320$
• Cuatro factorial: $4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24$

Todas las calculadoras científicas tienen una tecla que permite hacer este cálculo. Suele estar indicada con una equis seguida el signo de admiración $x!$. de manera que lo que hay que hacer para calcular el factorial de un número es escribir dicho número en la calculadora y luego pulsar la tecla $x!$.

Cuando se trata de números grandes la expresión factorial es larga y se puede abreviar mediante puntos suspensivos.

Por ejemplo: $$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$ también lo podemos escribir de esta forma: $$8! = 8\cdot7 \cdot \ldots \cdot 2\cdot1$$

Para escribir, por ejemplo $54!$ basta con escribir unos cuantos números del principio y otros del final separados por puntos suspensivos: $$54! = 54\cdot53\cdot52 \cdot \ldots \cdot 3\cdot2\cdot1$$

Estamos ahora en condiciones de dar la definición general del factorial de un número. El factorial de un número entero positivo $n$ se define como: $$ n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$$

Lógicamente $1! = 1$. Lo que ya no parece tan lógico es que $0! = 1$, pero se adopta como convenio. De manera que para el cálculo de factoriales es importante recordar que $1! = 1$ y $0! = 1$.

Es fácil observar, utilizando una calculadora, que el factorial de un número crece de forma casi exponencial, es decir que crece muy deprisa.

$$10! = 3628800$$

$$15! = 1307674368000$$

$$20! = 2432902008176640000$$

Por lo que puede ser difícil el evitar cálculos engorrosos cuando se están haciendo operaciones con factoriales.

Una propiedad de los factoriales, que se puede utilizar para simplificar fracciones, es: $$n! = n \cdot (n-1)!$$

Por ejemplo, el factorial de $8$

$$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$

Podemos asociar los factores de la siguiente manera: $$8 \cdot (7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)$$

el grupo que está entre paréntesis es precisamente $7!$. De manera que podemos poner: $$8! = 8 \cdot (7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1) = 8\cdot7!$$

$$7! = 7\cdot6!$$

$$11! = 11\cdot10\cdot9!$$

$$x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)!$$