Definició i matrius associades d'una quàdrica analítica

Donat un polinomi quadràtic real $$q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \\ +2px+2qy+2rz+d$$ en les coordenades rectangulars $(x,y,z)$, direm que l'equació $q(x,y,z)=0$ defineix una quàdrica,què denotarem per $Q$.

Recordem que la definició quadràtic inclou la condició que la part principal de $q(x,y,z)$ $$q_2(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz$$no és idènticament nul·la.

Un punt $(a, b, c)$ pertany a la quàdrica $Q$ si i només si $Q (a, b, c) = 0$. El punt es diu real si $a, b, c$ són reals i imaginari si alguna de les seves coordenades és complexa.

Noteu, que si $(a, b, c)$ és un punt imaginari pertanyent a la quàdrica, com $q(x,y,z)$ és un polinomi real, $Q$ conté al conjugat de $(a, b, c)$.

Si $(x',y'.z')$ és un altre sistema de coordenades rectangulars i $$q(x',y',z')=a'x'^2+b'y'^2+c' z'^2+2f'x'y'+2g'x'z'+$$ $$+2h'y'z'+2p'x'+2q'y'+2r'z'+d'$$ és un polinomi quadràtic real en (x',y',z'), direm que $Q$ coincideix amb $Q'$, o que les equacions $q(x,y,z)=0$ i $q'(x',y',z')=0$ defineixen la mateixa quàdrica, si i només si existeix un nombre real no nul $K$ tal que $$q'(x',y',z')=Kq(x',y'z')$$ on $q'(x',y',z')=0$ denota el polinomi en $(x',y',z')$ que s'obté substituint les coordenades $(x,y,z)$ del polinomi $q(x,y,z)$ per les expressions del canvi de coordenades $(x',y',z')$.

Matrius associades

Posem $$A= \begin{bmatrix} a & f & g \\ f & b & h \\ g & h & c \end{bmatrix}$$ i diem que és la matriu principal del polinomi $q(x,y,z)$.

Anàlogament, definim $$\overline{A}=\begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega d \end{bmatrix}, \omega=(p,q,r)$$ i diem que és la matriu del polinomi $q(x,y,z)$.

També diem que $A$ és la matriu inicial de $\overline{A}$. A aquestes dues matrius també se les anomena matriu de l'infinit i matriu projectiva de la cònica.

El coneixement d' $A$ equival al de la part principal de $q(x,y,z)$ (és a dir de $q_2(x,y,z)$), ja que $$q_2(x,y,z)=(x,y,z)A(x,y,z)^T $$

Anàlogament, el coneixement d' $\overline{A}$ equival al coneixement de $q(x,y,z)$ ja que $$q(x,y,z)=(x,y,z,1)\overline{A}(x,y,z,1)^T$$

Observem, però, que la quàdrica $Q$ només determina $\overline{A}$ excepte un factor real no nul.

A continuació, anem a donar dos resultats que ens permetran reduir l'equació general d'una quàdrica:

• Donat un polinomi $q(X)=q(x,y,z)$ en les coordenades $X=(x,y,z)$, amb matriu $A$ i matriu principal $\overline{A}$, el polinomi $q(X')=q(x',y',z')$ definit per la fórmula $q(X')=q(X'M^t+P)$ té matriu $\overline{A}'=\overline{M}^T\overline{A}\overline{M}$ i matriu principal $A' = M^TAM$.

Tingueu en compte que en aquest resultat, es fa servir la notació $X=(x,y,z)$ per indicar que $X$ és el vector tridimensional que té per coordenades $X$. Aquesta notació la fem servir per estalviar escriptura.

• Donat un sistema de coordenades rectangulars $X=(x,y,z)$ i un polinomi quadràtic $q(x,y,z)$, existeix un sistema de coordenades rectangulars $X'=(x',y',z')$ tal que la part principal del polinomi $q(x',y',z')$ té la forma $\lambda_1 x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2$ que anomenarem forma diagonal. A més,$\lambda_1$,$\lambda_2$ i $\lambda_3$ són valors propis reals de la matriu inicial de $q(x,y,z)$.

Donada la matriu $$\overline{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 5\end{bmatrix}$$ l'equació de la quàdrica associada a la matriu donada es calcula de la següent manera: $$\begin{bmatrix} x & y & z & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y & z & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x+ 2y + 1 \\ 2x + 2y \\ z + 1 \\ x +z+ 5\end{bmatrix}=$$ $$=x^2+2y^2+z^2+4xy+2x+2z+5$$