Definición y matrices asociadas de una cuádrica analítica

Dado un polinomio cuadrático real $$q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+ \\ +2px+2qy+2rz+d$$ en las coordenadas rectangulares $(x,y,z)$, diremos que la ecuación $q(x,y,z)=0$ define una cuádrica, que denotaremos por $Q$.

Recordemos que la definición cuadrático incluye la condición de que la parte principal de $q(x,y,z)$ $$q_2(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz$$no es idénticamente nula.

Un punto $(a, b, c)$ pertenece a la cuádrica $Q$ si y solo si $Q (a, b, c) = 0$. El punto se llama real si $a, b, c$ son reales e imaginario si alguna de sus coordenadas es compleja.

Nótese, que si $(a, b, c)$ es un punto imaginario perteneciente a la cuádrica, como $q(x,y,z)$ es un polinomio real, $Q$ contiene al conjugado de $(a, b, c)$.

Si $(x',y'.z')$ es otro sistema de coordenadas rectangulares y $$q(x',y',z')=a'x'^2+b'y'^2+c' z'^2+2f'x'y'+2g'x'z'+$$ $$+2h'y'z'+2p'x'+2q'y'+2r'z'+d'$$ es un polinomio cuadrático real en (x',y',z'), diremos que $Q$ coincide con $Q'$, o que las ecuaciones $q(x,y,z)=0$ y $q'(x',y',z')=0$ definen la misma cuádrica, si y solo si existe un número real no nulo $K$ tal que $$q'(x',y',z')=Kq(x',y'z')$$ donde $q'(x',y',z')=0$ denota el polinomio en $(x',y',z')$ que se obtiene substituyendo las coordenadas $(x,y,z)$ del polinomio $q(x,y,z)$ por las expresiones del cambio de coordenadas $(x',y',z')$.

Matrices asociadas

Ponemos $$A= \begin{bmatrix} a & f & g \\ f & b & h \\ g & h & c \end{bmatrix}$$ y decimos que es la matriz principal del polinomio $q(x,y,z)$.

Análogamente, definimos $$\overline{A}=\begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega d \end{bmatrix}, \omega=(p,q,r)$$ y decimos que es la matriz del polinomio $q(x,y,z)$.

También decimos que $A$ es la matriz principal de $\overline{A}$. A estas dos matrices también se las llama matriz del infinito y matriz proyectiva de la cónica.

El conocimiento de $A$ equivale al de la parte principal de $q(x,y,z)$ (es decir a $q_2(x,y,z)$), ya que $$q_2(x,y,z)=(x,y,z)A(x,y,z)^T $$

Análogamente, el conocimiento de $\overline{A}$ equivale al conocimiento de $q(x,y,z)$ ya que $$q(x,y,z)=(x,y,z,1)\overline{A}(x,y,z,1)^T$$

Observemos, sin embargo, que la cuádrica $Q$ sólo determina $\overline{A}$ salvo un factor real no nulo.

A continuación, vamos a dar dos resultados que nos van a permitir reducir la ecuación general de una cuádrica:

• Dado un polinomio $q(X)=q(x,y,z)$ en las coordenadas $X=(x,y,z)$, con matriz $A$ y matriz principal $\overline{A}$, el polinomio $q(X')=q(x',y',z')$ definido por la fórmula $q(X')=q(X'M^t+P)$ tiene matriz $\overline{A}'=\overline{M}^T\overline{A}\overline{M}$ y matriz principal $A' = M^TAM$.

Obsérvese que en este resultado usamos la notación $X=(x,y,z)$ para indicar que $X$ es el vector tridimensional que tiene por coordenadas $X$. Esta notación la usamos para ahorrarnos escritura.

• Dado un sistema de coordenadas rectangulares $X=(x,y,z)$ y un polinomio cuadrático $q(x,y,z)$, existe un sistema de coordenadas rectangulares $X'=(x',y',z')$ tal que la parte principal del polinomio $q(x',y',z')$ tiene la forma $\lambda_1 x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2$ que denominaremos forma diagonal. Además,$\lambda_1$,$\lambda_2$ y $\lambda_3$ son valores propios reales de la matriz principal de $q(x,y,z)$.

Dada la matriz $$\overline{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 5\end{bmatrix}$$ la ecuación de la cuádrica asociada a dicha matriz, se calcula de la siguiente forma: $$\begin{bmatrix} x & y & z & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y & z & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x+ 2y + 1 \\ 2x + 2y \\ z + 1 \\ x +z+ 5\end{bmatrix}=$$ $$=x^2+2y^2+z^2+4xy+2x+2z+5$$