Definicions, matriu i matriu principal de les còniques

Definicions bàsiques

Donat un polinomi quadràtic real $$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$ amb les coordenades rectangulars $(x, y)$, direm que l'equació $q (x, y) = 0$ defineix una cònica analítica, que denotarem per $C_q$.

Tingueu en compte que amb la paraula cònica volem dir que la part principal de $q (x, y)$, $q_2(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$ , no és idènticament zero en tots els seus punts.

Un punt $(m, n)$ pertany a la cònica analítica $C_q$ si i només si $q (m, n) = 0$. El punt es diu real si les dues coordenades són reals, i complex si alguna de les seves dues coordenades són complexes. Com l'equació és una equació amb coeficients reals, si un punt $(m, n)$ complex pertany a la cònica, llavors el seu conjugat també és de la cònica.

Si $(x', y')$ és un altre sistema de coordenades rectangular i $$q'(x',y')=a'x'^2+2b'x'y'+c'y'^2+2d'x'+2e'y'+f'$$ és un polinomi quadràtic en $(x', y')$, diem que les equacions $q (x, y) = 0$ i $q' (x', y') = 0$ defineixen la mateixa cònica analítica si i només si existeix un nombre real $K$ diferent de zero tal que: $q'(x',y')=K\cdot q(x,y)$ on es considera $q (x, y)$ un polinomi en el sistema de coordenades $(x', y')$ que s'obté substituint $(x, y)$ pels valors donats per les fórmules del canvi de coordenades.

En particular, tenim que dos polinomis $q (x, y)$ i $q' (x, y)$ en les mateixes coordenades rectangulars defineixen la mateixa cònica si i només si existeix un nombre real $K$, no nul tal que $q(x',y')=K \cdot q(x,y)$.

Matriu i matriu principal d'una cònica

Donada una matriu real simètrica $$\displaystyle \overline{A}=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}$$ li podem assignar el polinomi $$q^{\overline{A}}(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$

La matriu principal $\bar{A}$ és la matriu no nul·la $$\displaystyle \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$ no nul·la, i el polinomi $q^{\bar{A}}(x,y)$ defineix una cònica analítica $C_{q^{\bar{A}}}$: diem que la cònica analítica és la determinada per la matriu $\bar{A}$ referida a les coordenades $(x,y)$.

Noteu que si $K$ és un nombre real no nul, $K\overline{A}$ i $KA$ determinen, referides a un mateix sistema de coordenades, la mateixa cònica analítica.

A més, la part principal del polinomi $q^{\overline{A}}(x,y)$ és el polinomi $q^A(x,y)=ax^2+2bx+cy^2$ corresponent a la matriu principal $A$.

Recíprocament, donada una cònica analítica de la forma: $$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$ li podem assignar una matriu simètrica real, on $a, b, c, d, e, f$ són els coeficients del polinomi $q (x, y)$.

Com la matriu $\overline{A}$ està definida excepte un factor escalar no nul, escriurem $[\overline{A}]$ per denotar-la i direm que és la matriu de la cònica relativa a les coordenades $(x, y)$.

La part principal de la matriu relativa a la cònica és $A$, on $A$ ve donada pels coeficients de la part principal de $q (x, y)$. Podem escriure: $$\overline{A}= \begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega & c \end{bmatrix}, \omega=(g,h)$$

Llavors són vàlids els següents resultats:

• Donada una matriu simètrica real , la cònica que determina és la donada per l'equació $ (x,y,1) \cdot \overline{A} \cdot (x,y,1)^T=0 $ ( referida a les coordenades $(x, y)$ ).

• Siguin $\overline{A}$ i $\overline{A}'$' dues matrius reals simètriques de dimensió $3$. Llavors, la cònica analítica definida per $\overline{A}$ - referida a les coordenades rectangulars $(x, y)$ - coincideix amb la definida por $\overline{A}'\overline{A}$- referida a les coordenades $(x', y')$ -, si i només si existeix una matriu $\overline{M}=\begin{bmatrix} M & p \\ 0 & 1\end{bmatrix}$, $M \in O(2)$, $p=(r,s)^T$ i $r,s$ reals i un nombre $K$ diferent de zero, tals que: $\overline{A}'=K\cdot \overline{M}^T \overline{A}\overline{M}$.

A més, en aquest cas també tenim una igualtat amb les matrius principals $A$ i $A'$,$A' =K \cdot M^TAM$

Donada la matriu $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$, trobar la cònica associada a aquesta matriu $A$.

Per calcular l'equació de la cònica associada a la matriu $A$, hem de resoldre el següent producte: $$\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x+1 \\ y \\ x-2\end{bmatrix} =$$ $$=(2x+1)x+y^2+x-2=2x^2+y^2+2x-2$$