Definiciones, matriz y matriz principal de las cónicas

Definiciones básicas

Dado un polinomio cuadrático real $$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$ con las coordenadas rectangulares $(x, y)$, diremos que la ecuación $q (x, y) = 0$ define una cónica analítica, que denotaremos por $C_q$.

Nótese que con la palabra cónica queremos decir que la parte principal de $q (x, y)$, $q_2(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$ , no es idénticamente cero en todos sus puntos.

Un punto $(m, n)$ pertenece a la cónica analítica $C_q$ si y solo si $q (m, n) = 0$. El punto se llama real si las dos coordenadas son reales, y complejo si alguna de sus dos coordenadas son complejas. Como la ecuación es una ecuación con coeficientes reales, si un punto $(m, n)$ complejo pertenece a la cónica, entonces su conjugado también es de la cónica.

Si $(x', y')$ es otro sistema de coordenadas rectangular y $$q'(x',y')=a'x'^2+2b'x'y'+c'y'^2+2d'x'+2e'y'+f'$$ es un polinomio cuadrático en $(x', y')$, decimos que las ecuaciones $q (x, y) = 0$ y $q' (x', y') = 0$ definen la misma cónica analítica si y sólo si existe un número real $K$ diferente de cero tal que: $q'(x',y')=K\cdot q(x,y)$ donde se considera $q (x, y)$ un polinomii en el sistema de coordenadas $(x', y')$ que se obtiene substituyendo $(x,y)$ por los valores dados por las fórmulas del canvio de coordenadas.

En particular, tenemos que dos polinomios $q (x, y)$ y $q' (x, y)$ en las mismas coordenadas rectangulares definen la misma cónica si y sólo si existe un número real $K$, no nulo tal que $q(x',y')=K \cdot q(x,y)$.

Matriz y matriz principal de una cónica

Dada una matriz real simétrica $$\displaystyle \overline{A}=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}$$ le podemos asignar el polinomio $$q^{\overline{A}}(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$

La matriz principal de $\bar{A}$ es la matriz no nula $$\displaystyle \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$ y al polinomio $q^{\bar{A}}(x,y)$ define una cónica analítica $C_{q^{\bar{A}}}$: decimos que la cónica analítica es la determinada por la matriz $\bar{A}$ referida a las coordenadas $(x,y)$.

Nótese que si $K$ es un número real no nulo, $K\overline{A}$ y $KA$ determinan, referidas a un mismo sistema de coordenadas, la misma cónica analítica.

Además, la parte principal del polinomio $q^{\overline{A}}(x,y)$ es el polinomio $q^A(x,y)=ax^2+2bx+cy^2$ correspondiente a la matriz principal $A$.

Recíprocamente, dada una cónica analítica de la forma: $$q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$ le podemos asignar una matriz simétrica real, donde $a, b, c, d, e, f$ son los coeficientes del polinomio $q (x, y)$.

Como la matriz $\overline{A}$ está definida salvo un factor escalar no nulo, escribiremos $[\overline{A}]$ para denotarla y diremos que es la matriz de la cónica relativa a las coordenadas $(x, y)$.

La parte principal de la matriz relativa a la cónica es $A$, donde $A$ viene dada por los coeficientes de la parte principal de $q (x, y)$. Podemos escribir: $$\overline{A}= \begin{bmatrix} A & \omega^T \\ \omega & c \end{bmatrix}, \omega=(g,h)$$

entonces son válidos los siguientes resultados:

• Dada una matriz simétrica real , la cónica que determina es la dada por la ecuación $ (x,y,1) \cdot \overline{A} \cdot (x,y,1)^T=0 $ ( referida a las coordenadas $(x, y)$ ).

• Sean $\overline{A}$ y $\overline{A}'$' dos matrices reales simétricas de dimensión $3$. Entonces, la cónica analítica definida por $\overline{A}$ - referida a las coordenadas rectangulares $(x, y)$ - coincide con la definida por $\overline{A}'\overline{A}$- referida a las coordenadas $(x', y')$ -, si y sólo si existe una matriz $\overline{M}=\begin{bmatrix} M & p \\ 0 & 1\end{bmatrix}$, $M \in O(2)$, $p=(r,s)^T$ y $r,s$ reales y un numero $K$ distinto de cero, tales que: $\overline{A}'=K\cdot \overline{M}^T \overline{A}\overline{M}$.

Además, en este caso también tenemos una igualdad con las matrices principales $A$ y $A'$,$A' =K \cdot M^TAM$

Dada la matriz $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$, encontrar la cónica asociada a dicha matriz $A$.

Para calcular la ecuación de la cónica asociada a la matriz $A$, debemos resolver el siguiente producto: $$\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2x+1 \\ y \\ x-2\end{bmatrix} =$$ $$=(2x+1)x+y^2+x-2=2x^2+y^2+2x-2$$