Mesura d'angles en radiants
Sabem com mesurar l'amplitud d'un angle mitjançant graus, que a més podem dividir en els submúltiples minuts i segons.
Però hi ha una altra manera de mesurar angles. Es pot fer mitjançant la unitat a la que anomenen radiant.
Un radiant és l'angle que s'aconsegueix quan es pren el radi i s'enrotlla sobre el cercle. Vegem un dibuix per entendre millor:
Així que un radiant marca un angle que té de longitud de circumferència una llargada igual al radi. Així doncs, tenim que un angle complet té $2\pi$ radiants, un angle pla té $\pi$ radiants i un angle recte té $\dfrac{\pi}{2}$ radiants.
Això surt de saber que la longitud total d'una circumferència és:
$L=2 \cdot \pi \cdot r$
on $r$ és el radi d'aquesta circumferència.
Per tant la volta completa té $2\pi$ vegades la longitud del radi, però una volta completa eren $360^\circ$ de manera que, ja tenim la manera de passar d'una mesura a una altra: $2 \cdot \pi $ radiants $=360^\circ$ (una volta completa).
De manera que els factors de conversió que farem servir per passar d'una a una altra seran:
- Per passar de graus a radiants
$N^\circ=N^\circ \cdot \dfrac{2\pi \ \mbox{radiants}}{360^\circ}= \dfrac{N \cdot 2 \pi}{360}$ radiants on $N$ és un nombre qualsevol de graus que volem expressar en radiants.
- Per passar de radiants a graus:
$M$ radiants = $M \ \mbox{radiants} \cdot \dfrac{360^\circ}{2 \pi \ \mbox{radiants}}= \Big(\dfrac{M \cdot 360}{2 \pi} \Big)^\circ$ on $M$ és un nombre qualsevol de radiants que volem expressar en graus.
Escrivim $270^\circ$ en radiants:
Agafant el factor de conversió de graus a radiants tenim $$ 270^\circ \cdot \frac{2\pi \ \mbox{radiants}}{360^\circ}= \frac{270 \cdot 2 \pi}{360} \ \mbox{radiants}= \frac{3}{2} \pi \ \mbox{radiants}$$
Quan expressem les quantitats en radiants, s'acostuma a deixar el nombre $\pi$ indicat.
Si es vol deixar-ho en xifres, es substituirà aquest símbol per l'aproximació $3.1416$.
És a dir, en aquest exemple:
$$\frac{3}{2} \pi = \frac{3}{2} \cdot 3,1416 = 4,71225 \ \mbox{radiants}$$.
Escrivim $45^\circ$ en radiants: $$45^\circ \cdot \frac{2 \pi \ \mbox{radiants}}{360^\circ}=\frac{45 \cdot 2\pi}{360} \ \mbox{radiants}= \frac { \pi}{4} \ \mbox{radiants}$$ que en xifres serien aproximadament: $$\frac { \pi}{4}= \frac{3,1416}{4}=0,7853 \ \mbox{radiants}$$
Escrivim ara $3\pi$ radiants en graus:
Com abans, agafem el factor de conversió, però ara el que ens passa de radians a graus i obtenim:
$$3\pi \ \mbox{radiants}= 3\pi\cdot\frac{360^\circ}{2\pi}=540^\circ$$
Escrivim $ \dfrac {6\pi}{5} \ \mbox{radiants}$ en graus:
$$\dfrac{6}{5}\pi \ \mbox{radiants}= \frac{6}{5}\pi \frac{360^\circ}{2\pi}=216^\circ$$