Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

En primer lugar se coloca la tercera ecuación en primer lugar, y se elimina la variable $x$ de la segunda ecuación. $$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-z &=& 1 \\ 2x+2y+2z & = & 2 \\ 2x-2y+2z &=& 3 \end{array}\right.$$ $$E2' = E2 - 2\cdot E1$$ $$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-z &=& 1 \\ 4z & = & 0 \\ 2x-2y+2z &=& 3 \end{array}\right.$$

Se puede observar que también se ha eliminado la variable y de la segunda ecuación. Así pues $z=0$ y se tiene un sistema de dos ecuaciones y dos variables, que se puede resolver fácilmente por sustitución: $$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y &=& 1 \\ 2x-2y &=& 3 \end{array}\right. \\ 2(1-y)-2y=3 \Rightarrow 2-4y=3 \Rightarrow y=-\dfrac{1}{4} \\ x=\dfrac{5}{4} $$

Así pues, $$x=\dfrac{5}{4}; \ y=-\dfrac{1}{4}; \ z=0$$

El cambio de signo en la tercera ecuación hace que las ecuaciones 1 y 3 sean proporcionales, es decir, contienen la misma información. $$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+2y+2z &=&2 \\ 2x-2y+2z &=& 3\\ x+y \ \fbox{+} \ z &=& 1\end{array}\right.$$ $$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x-2y+2z &=&3 \\ x+y+z &=& 1\end{array}\right.$$ $$E1'=E1-2\cdot E2$$ $$\left\{ \begin{array} {rcl} z&=&1 \\ x+y+z &=& 1\end{array}\right.$$ $$x+y+1=1 \Rightarrow y=-x $$

Al tener más variables que ecuaciones, no se podrá encontrar una solución simple. El grado de libertad que queda hace que la solución sea una recta (corte de dos planos).