Sistemas escalonados

Los sistemas escalonados son aquellos en los que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Véase el siguiente ejemplo:

$$\left\{ \begin{array}{c} x+y+z=3 \\ y-z=2 \\ z=-1 \end{array} \right.$$

Para resolverlo el camino es sencillo.

Empezamos con que $z=-1$ y lo sustituimos en la segunda ecuación.

Obtenemos $y+1=2$, o sea $y=1$.

Sustituimos ahora en la primera ecuación: $x+1-1=3$; o sea $x=3$.

La solución es pues $(3,1,-1)$ y es única.

Evidentemente puede darse el caso en que haya más incógnitas que ecuaciones, con lo cual el sistema no tendrá una única solución. Sea por ejemplo,

$$\left\{ \begin{array}{c} x+y+z=4 \\ y+z=2 \end{array} \right.$$

En este caso daremos a $z$ un valor cualquiera que llamaremos $\lambda$ y seguiremos el mismo procedimiento, sustituyendo en las demás ecuaciones. Así pues,

$$z=\lambda \\ y=2-\lambda \\ x=2$$