Representación gráfica de una función

Dada una función $f(x)$ definida $$\begin{array}{rcl} f: X & \longrightarrow &Y \\ x &\longmapsto & f(x)=y \end{array} $$

definimos la gráfica de esta función como el conjunto de puntos: $$\{ (x,y)\in X\times Y \ | \ y=f(x) \} $$ o también los pares de puntos $(x,f(x))$. Estos puntos se pueden representar con coordenadas cartesianas en el plano $XY$ formándose así el dibujo de la gráfica de la función $f(x)$.

Tomemos la función $f(x)=x^3$. Su gráfica vendrá dada por el conjunto de puntos $ \{ (x,f(x))\}=\{(x,x^3)\} $ variando el valor de $x$.

Si lo representamos obtenemos el dibujo:

Pero, ¿Cómo se representa una gráfica? Para poder explicarlo debemos introducir antes el concepto de dominio e imagen de una función.

En una función $f(x)$ distinguimos dos conjuntos: uno es el conjunto de donde tomamos valores para evaluar la función (los posibles valores de $x$) y el otro es el conjunto formado por los diferentes valores que alcanza la función $f(x)$.

Entonces, definimos:

• Dominio de una función como el conjunto de valores donde evaluaremos la función. Se denota como: $\text{Dom}(f)$.
• Imagen de una función como el conjunto de valores obtenidos por la función. Se denota como: $\text{Im}(f)$.

Fijémonos que cuando notamos una función como: $$\begin{array}{rcl} f: X & \longrightarrow &Y \\ x &\longmapsto & f(x)=y \end{array} $$

el conjunto $X$ es el dominio, puesto que tomaremos los valores de $x$ de dentro de éste y la imagen estaría dentro del conjunto $Y$.

Veámoslo mejor con algunos ejemplos:

La función $f(x)=x$ tiene como dominio toda la recta real, puesto que podemos evaluarla en cualquier punto, y tiene como imagen la misma recta, ya que la función es la identidad.

Por lo tanto escribiremos:

$$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$$

$$\text{Im}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$$

La función té $f(x)=x^2$ tiene como dominio también toda la recta real (podemos evaluarla en cualquier punto) y no obstante, al ser la función "elevar al cuadrado", sólo obtenemos valores positivos. Por consiguiente su imagen será la semirecta real positiva incluyendo el cero.

Por lo tanto escribiremos:

$$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$$

$$\text{Im}(f)=[0,\infty)$$

Podemos observar que el dominio puede ser un conjunto a elección nuestra (ya que podemos escogerlo más pequeño o más grande) mientras que la imagen vendrá dada por el dominio escogido.

A veces, pero, nos encontramos que nuestra función por ciertos motivos no puede ser evaluada en ciertos puntos ya que no está definida, así que tendremos que excluir ciertos puntos o intervalos del dominio.

Si tomamos la función $f(x)=\dfrac{x+1}{x}+1$ podemos ver que cuando $x = 0$ tenemos la expresión $\dfrac{1}{0}$ y esta división no puede realizarse.

Por consiguiente, el dominio de esta función será todos los reales exceptuando el cero:

$$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$$

Y la imagen será

$$\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty)$$

Cálculo de dominios:

Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real ($\mathbb{R}$) e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones:

Función	Conjunto de no definición
$f(x)=\log(g(x))$	$\{x \ | \ g(x) \leqslant 0 \} =$ los valores de $x$ tal que $g(x)$ se hace negativa o cero
$f(x)=\sqrt{g(x)}$	$\{x \ | \ g(x) < 0 \}=$ los valores de $x$ tal que $g(x)$ se hace negativa
$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$	$\{x \ | \ h(x)=0 \}=$ los valores de $x$ tal que $h(x)$ vale cero
$f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}$	$\{x \ | \ g(x) < 0 \}=$ los valores de $x$ tal que $g(x)$ se hace negativa

Si tomamos la función $f(x)=\Big( \dfrac{2x+1}{x-4}-\ln(x+8)\Big)\cdot\sqrt{x^2+1}$ y queremos encontrar su dominio debemos considerar que es toda la recta real y irla restringiendo según encontremos puntos o intervalos de no definición.

En este caso, observamos que tenemos 3 posibles intervalos de no definición:

• cuando $x-4$ sea cero $\Rightarrow x-4=0\Rightarrow x=4 \ $ la función no estará definida.
• cuando $x+8$ sea negativo o cero $\Rightarrow x+4 \leqslant 0 \Rightarrow x\leqslant-8 \ $ la función no estará definida.
• cuando $x^+1$ sea negatvo $\Rightarrow x^2+1< 0 \Rightarrow x^2< -1 \ $, cosa que no puede pasar ya que $x^2$ siempre es positivo, por lo tanto la función no tiene intervalos de no definición.

Entonces, podemos concluir que el dominio de nuestra función será: $$\text{Dom}(f)=(-8,4)\cup(4,\infty)$$

Representación gráfica

Supongamos que tenemos una función $f(x)$. Para representarla gráficamente debemos primero encontrar su dominio para saber en que puntos debemos evaluarla.

UUna vez encontrado el dominio procederemos a hacer la representación. ¿Cómo lo haremos? Bien, la manera más simple y sencilla es mediante una tabla de valores, es decir, daremos valores a la variable $x$ y encontraremos el valor de $f(x)$ y dibujaremos el punto encontrado, $(x,f(x))$ en el plano usando las coordenadas cartesianas.

Tomemos la función $f(x)=2x+1$ y vamos a hacer la tabla de valores:

$x$	$f(x)$
$-2$	$f(2)=2\cdot(-2)+1=-3$
$-1$	$f(2)=2\cdot(-1)+1=-1$
$0$	$f(2)=2\cdot(0)+1=1$
$1$	$f(2)=2\cdot(1)+1=3$
$2$	$f(2)=2\cdot(2)+1=5$

y por lo tanto encontramos los pares de puntos:

$x$	$f(x)$
$-2$	$-3$
$-1$	$-1$
$0$	$1$
$1$	$3$
$2$	$5$

los que dibujaremos en el plano $XY$ y eos uniremos con una línea. Al final obtenemos:

donde hemos marcado con puntos las coordenadas encontradas en la tabla de valores.

Este procedimiento (hacer la tabla de valores) puede sernos muy útil cuando debemos dibujar una función, pero a veces nos puede desconcertar, ya que existen funciones muy diversas y a veces sólo encontrando unos cuantos puntos en la tabla de valores no basta para poder dibujar la función.