Matriz inversa: Método por determinantes
Inventar una matriz $3\times3$ y calcular su inversa.
¿Por qué no puede ser cualquier matriz? ¿Qué requisito debe cumplir?
Defino la matriz $A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \ -1 & 1 & 1 \ 0 & -1 & -2 \end{array} \right)$
Vamos a utilizar el método por determinantes
- Calculo el determinante (utilizo la regla de Sarrus):
$$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array} \right|= (1\cdot1\cdot-2)+(-1\cdot-1\cdot-2)+(0)-0-(1\cdot-1\cdot1)-0=-3$$
- Se calcula la matriz adjunta
$$Adj(A)=\left(\begin{array}{ccc} +\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{array} \right| & +\ldots \\ -\ldots & +\ldots & -\ldots \\ +\ldots & -\ldots & +\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right| \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
- Trasponemos la matriz adjunta
$$(Adj(A))^t=\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$
- Calculo la matriz inversa:
$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(Adj(A))^t=\dfrac{1}{-3}\left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)=\dfrac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$
$$A^{-1}=\dfrac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$
Al dividir por el determinante es exigible que el determinante de $A$ no sea nulo.
Esta es la condición que debe tener la matriz $A$ para ser invertible.