Relación de orden: inclusión

Dados dos intervalos cualesquiera $J$ y $K$ diremos que $J$ está contenido en $K$, $J\subseteq K$, si todos los elementos de $J$ pertenecen a $K$.

El intervalo $[3,7]$ está incluido al intervalo $\Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$, y lo denotamos por: $$[3,7] \subseteq \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$$ ya que $3 \in \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$, $7 \in \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$ y, en consecuencia, para cualquier $x \in [3,7]$ se cumple que $x \in \Big(-2,\dfrac{15}{2}\Big)$

Intuitivamente, diremos que se trata de un orden porqué dados dos intervalos, nos indica cual de ellos es mayor que el otro: si $J\subseteq K$ entonces $J$ es más pequeño que $K$.

A diferencia del orden sobre los reales, no es un orden total, es decir, no todos los pares de intervalos son comparables.

Dados los intervalos $(2,3)$ y $(3,4)$, vamos a ver que no son comparables.

$\dfrac{5}{2}\in (2,3),$ pero $\dfrac{5}{2}\notin (3,4),$ por lo tanto no es cierto que $(2,3)\subseteq (3,4).$

Así mismo,

$\dfrac{10}{3}\in (3,4),$ pero $\dfrac{10}{3}\notin (2,3),$ por lo tanto tampoco es cierto que $(3,4)\subseteq (2,3).$

Con lo que obtenemos que no son comparables.