Propiedades del producto y el cociente de logaritmos

Primero hay que ver si se puede descomponer cada número en potencias de igual base a la del logaritmo y luego se pueden aplicar las propiedades aprendidas para resolverlos:

En el primer caso todos los factores pueden expresarse como potencias de $5$, luego: $$log_5 \dfrac{25\cdot 125\cdot \dfrac{1}{625}}{\dfrac{1}{5}}=log_5 \dfrac{5^2\cdot 5^3\cdot \dfrac{1}{5^4}}{\dfrac{1}{5}}=log_5 \dfrac{5^2\cdot 5^3\cdot 5^{-4}}{5^{-1}}$$ Ahora que está todo expresado en potencias de base $5$ se pueden aplicar las propiedades del producto, del cociente y de la potencia de los logaritmos:

$$(log_5 5^2+log_5 5^3+log_5 5^{-4})-log_5 5^{-1}=(2+3-4)-(-1)=1+1=2$$

En el segundo caso, se pueden expresar los números como potencias de $3$:

$$log_3 \dfrac{27\cdot\dfrac{1}{81}}{9\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}}= log_3 \dfrac{3^3\cdot\dfrac{1}{3^4}}{3^2\cdot\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}}= log_3 \dfrac{3^3\cdot3^{-4}}{3^2\cdot3^{-\frac{1}{2}}}=$$ $$=(log_3 3^3+log_3 3^{-4})-(log_3 3^2+log_3 3^{-\frac{1}{2}})=$$ $$=(3-4)-(2-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{7}{2}$$

En el tercer caso, hay que recurrir a las potencias de $10$: $$log\dfrac{10.000\cdot0,1}{0,001\cdot100}=log\dfrac{10^4\cdot10^{-1}}{10^{-3}\cdot10^2}=$$ $$=(log10^4+log10^{-1})-(log10^{-3}+log10^2)=$$ $$=(4-1)-(-3+2)=3+1=4$$

Finalmente, en el último caso, se puede intentar conseguir el máximo de potencias en base $2$:

$$log_2 \dfrac{12}{\sqrt{36}\cdot 16}=log_2 \dfrac{3\cdot4}{6\cdot 2^4}=log_2 \dfrac{3\cdot2^2}{2\cdot3\cdot 2^4}=$$ $$=(log_2 3+log_2 2^2)-(log_2 2+log_2 3+log_2 2^4)=$$ $$=log_2 3+2-1-log_2 3-4=-3$$