Límites en el infinito

Dada una función $f(x)$ nos podemos preguntar ¿a qué tiende cuando cogemos $x$ muy grandes? es decir, ¿a qué tiende $f(x)$ cuando $x$ tiende a infinito?

La función $f(x)=1$ es constante y siempre vale $1$. Por consiguiente, su límite cuando $x$ tiende a infinito es $1$, y la función $f(x)=x$ tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito.

La operación de buscar el límite cuando $x$ tiende a infinito de una función se denota como:

$$\lim_{x \to \infty}{f(x)}$$

Debemos pensar también que podemos hacer el límite de una función cuando $x$ se hace muy grande o cuando $x$ se hace muy pequeño. Por lo tanto podemos definir los límites de $f(x)$ cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito:

$$\lim_{x \to +\infty}{f(x)} \ \text{y} \ \lim_{x \to -\infty}{f(x)}$$

Tomemos la función $f(x)=x^2-1$.

Si calculamos su límite cuando $x$ tiende a más y menos infinito nos encontramos con:

$$\lim_{x \to -\infty}{f(x)} = \lim_{x \to -\infty}{x^2-1}=(-\infty)^2-1=\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty}{x^2-1}=\infty^2-1=\infty$$