Áreas definidas bajo una función

En este apartado calcularemos áreas determinadas por la gráfica de una función y el eje de las $x$. Consideramos una función real $f(x)$ y su gráfica $( x, f(x) )$ en el plano:

Queremos calcular el área coloreada $A$. Es decir, el área, $A$, determinada por la gráfica de la función, y un cierto intervalo $[a, b]$ del eje de las $x$, esto es:

$$A=\int_{a}^b f(x) \ dx$$

Vamos a calcular el área bajo la función $f(x)=x^2$ en el intervalo $[-2,2]$. Representemos la función para tener una noción geométrica del problema:

Tenemos pues que integrar la función en el intervalo que delimita el área, o sea: $$A=\int_{-2}^2 x^2 \ dx=\Big[ \dfrac{x^3}{3} \Big]_{-2}^2= \dfrac{2^3}{3}-\dfrac{(-2)^3}{3}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{-8}{3}= \dfrac{16}{3}\mathrm{u}^2$$

Nota: Cuando escribimos $u^2$ nos referimos a las unidades de superficie.

Vamos a calcular el área bajo la función $f(x)=\sqrt{x}+\sin x$ en el intervalo $[0,4]$. Tal como hemos hecho en el ejemplo anterior, dibujemos primero la función:

Para calcular el área bajo $f(x)$, tenemos que integrar dicha función en el intervalo correspondiente: $$\begin{array}{rl} A=&\int_0^4(\sqrt{x}+\sin (x)) \ dx= \int_0^4\sqrt{x} \ dx + \int_0^4\sin(x) \ dx \\ =& \left[ \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}} \right]_0^4+ [-\cos(x)]_0^4= \dfrac{2}{3}(8-0)-\cos(4)+1 \\ =& \dfrac{16}{3}+1.65=6.98 u^2 \end{array}$$