Ecuación general del plano

Para cada punto del plano $\pi$, podemos considerar las tres ecuaciones paramétricas como un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, $\lambda$ y $\mu$, que debe tener solución única. Por tanto el sistema: $$\left. \begin{array}{rcl}x-a_1 &=&\lambda \cdot u_1 +\mu \cdot v_1 \\ y-a_2& = &\lambda \cdot u_2+\mu \cdot v_2 \\ z-a_3&=&\lambda \cdot u_3 +\mu \cdot v_3\end{array}\right\}$$

tiene que ser compatible determinado y por tanto el siguiente determinante debe valer $0$: $$\left|\begin{matrix}x-a_1 & u_1 & v_1 \\ y-a_2 & u_2 & v_2 \\ z-a_3 & u_3 & v_3\end{matrix} \right|=0$$ Si desarrollamos el determinante anterior obtenemos: $$(u_2v_3-u_3v_2)\cdot x+(u_3v_1-u_1v_3)\cdot y+(u_1v_2-u_2v_1)\cdot z+ \\ +[-a_1(u_2v_3-u_3v_2)-a_2(u_3v_1-u_1v_3)-a_3(u_1v_2-u_2v_1)]=0$$ Y si llamamos $A, B$ y $C$ a los coeficientes de $x, y, z$, y $D$ al término independiente, obtenemos la ecuación lineal: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ que se conoce como ecuación general, cartesiana o implícita del plano.

Además el vector $\overrightarrow{v} = (A, B, C)$ es un vector perpendicular al plano.

Dados los puntos $A = (1,-3, 5), B = (-2, 2,-1)$ y $C = (1,-1, 0)$, encontrad las ecuaciones paramétricas del plano que determinan.

La ecuación vectorial es: $$(x, y, z) = (1,-3, 5) + \lambda \cdot (-3, 5,-6) + \mu \cdot (0, 2,-5)$$ y las ecuaciones paramétricas son: $$\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1-3\lambda \\ y&=&-3+5\lambda+2\mu \\ z&=&5-6\lambda-5\mu \end{array}\right.$$

Si escribimos el determinante del sistema e igualamos a cero tenemos: $$\left| \begin{matrix} x-1 & -3 & 0 \\ y+3 & 5 & 2 \\ z-5 & -6 & -5 \end{matrix}\right|=0$$ Y si lo desarrollamos: $$\left| \begin{matrix} x-1 & -3 & 0 \\ y+3 & 5 & 2 \\ z-5 & -6 & -5 \end{matrix}\right|=-25(x-1)-6(z-5)-15(y+3)+12(x-1)=\\=-25x+25-6z+30-15y-45+12x-12=-13x-15y-6z-2=0$$ Una característica importante de la ecuación general del plano es que nos permite obtener un vector normal con sólo mirar la ecuación.

Si la ecuación es $Ax + By + Cz + D = 0$ entonces $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$ es un vector normal del plano. En nuestro caso $\overrightarrow{n}=(-13,-15,-6)$.