Funciones pares e impares

Consideremos la gráfica de la siguiente función $f(x)=x^2$:

Observamos que cualquier número $x$ y su opuesto $-x$ tienen la misma imagen. En este caso decimos que la función es par.

Una función $f$ es par si para cualquier $x$ del dominio se verifica: $$f(x)=f(-x)$$

Observemos que las funciones pares son simétricas respecto del eje vertical.

Consideremos ahora la función $f(x)=x^3$:

Observamos que cualquier número $x$ y su opuesto $-x$ tienen imágenes opuestas. En este caso decimos que la función f es impar.

Una función $f$ es impar si para cualquier $x$ del dominio se verifica: $$f(x)=-f(-x)$$

Dadas la siguientes funciones, decidid cuáles de ellas son pares o impares: $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \mbox{ y } g(x)=x^2-2$$

Comprobamos si las funciones son pares: $$f(x)=f(-1) \Longleftrightarrow \displaystyle \frac{1}{x}=\frac{1}{-x} \Longleftrightarrow 1= -1 !! \\ g(x)=g(-x) \Longleftrightarrow x^2-2=(-x)^2-2=x^2-2 \mbox{ OK }$$

Comprobamos si la función $f$ es impar ($g$ no lo será ya que es par): $$\displaystyle f(x)=-f(-x) \Longleftrightarrow \frac{1}{x}=-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x} \mbox{ OK }$$

Por tanto la función $f$ es impar, y la función $g$ es par.