Resolver una ecuación exponencial por reducción a igual base

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

• $a^0=1$ para cualquier $a$.
• Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir:

$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$

• Para cualquier $a \neq 0$ y $a\neq 1$ se tiene que:$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando en ambos lados de la ecuación exponencial a resolver se tienen potencias de la misma base. En este caso se procede reduciendo ambos lados de la ecuación a la misma base y modificando como le corresponde a los exponentes hasta alcanzar una igualdad de bases, hecho que permite igualar los exponentes.

$$2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28$$

En la parte izquierda de la igualdad sacamos factor común de $2^x$, y en la parte derecha lo dejamos igual por el momento. Así pues,

$$2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28 \mbox { es los mismo que }2\cdot2^x+2^x+\displaystyle \frac{2^x}{2}=28 \Rightarrow 2^x\Big(2+1+\frac{1}{2}\Big)=28$$

Ahora realizamos las operaciones y aislamos el $2^x$:

$$2^x\Big(2+1+\frac{1}{2}\Big)=28 \Rightarrow 2^x\cdot \frac{7}{2}=28 \Rightarrow 2^x=\frac{28\cdot 2}{7}=8=2^3$$

Ya tenemos la misma base en los dos lados de la igualdad, de manera que podemos igualar los exponentes y así:

$$2^x=2^3\Rightarrow x=3$$

que es la solución que buscábamos.

$$4^x=8^{2x-3} \Rightarrow 2^{2x}=2^{3(2x-3)} \Rightarrow 2x=3(2x-3) \Rightarrow 4x=9 \rightarrow \displaystyle x=\frac{9}{4}$$

Para construir una ecuación de esta forma con solución se puede hacer con el proceso inverso.

Escogemos una base, por ejemplo $3$. Nos inventamos una ecuación de primer grado:

$$5\Big(x+\frac{4}{7}\Big)=21$$

y la escribimos como exponente de tal base:

$$\displaystyle 3^{5\Big(x+\frac{4}{7}\Big)}=3^21$$

Ahora podemos intentar escribir lo mismo de distinta forma para que se tengan que hacer unos cuantos cálculos antes de llegar a la misma base, por ejemplo una posibilidad sería:

$$\displaystyle 3^{5\Big(x+\frac{4}{7}\Big)}=3^{5x}\cdot 3^\frac{5\cdot 4}{7}=243^x\sqrt[7]{3^{20}} \\ 3^{21}=3^{17+4}=3^{5\cdot 3+2}\cdot 3^4=9\cdot (3^5)^4\cdot \frac{3^8}{3^4}$$

que en igualarlos nos dará la siguiente ecuación:

$$\displaystyle 243^x \cdot \sqrt[7]{3^{20}}=9 \cdot (3^5)^3\cdot \frac{3^8}{3^5}$$

Hay muchas combinaciones posibles para ecuaciones con la misma solución.