Ecuaciones lineales de orden 2 homogéneos a coeficientes no constantes

Se trata de una EDO de segundo orden a coeficientes no constantes homogénea. Como ya conocemos una solución, el método de reducción del orden nos dará otra linealmente independiente, $x_2(t)$, de manera que obtendremos dos soluciones linealmente independientes con lo que habremos resuelto la EDO ya que toda solución se escribirá $$x(t)=C_1\cdot x_1(t)+C_2\cdot x_2(t)$$

Buscamos la segunda solución de la forma: $x_2(t)=x_1(t)\cdot u(t)$.

Calculamos:

$$x_2=x_1\cdot u$$

$$x_2'=x_1'\cdot u+x_1\cdot u'$$

$$x_2''=x_1''\cdot u+x_1'\cdot u'+x_1'\cdot u'+x_1\cdot u''=x_1''\cdot u+2x_1'\cdot u' + x_1 u''$$

Impongamos que sea solución:

$$4t^2x_2''+x_2=4t^2(x_1''\cdot u +2x_1'\cdot u'+x_1 u'')+x_1\cdot u=$$ $$=u''(4t^2\cdot x_1)+u'(8t^2\cdot x_1')+u(4t^2\cdot x_1''+x_1)=0$$ Notemos que el último término es idénticamente cero, pues $x_1(t)$ es solución. Haciendo el cambio $w(t)=u'(t)$, obtenemos una EDO lineal en $w(t)$: $$w'(4t^2\cdot x_1)+w(8t^2\cdot x_1')=0 \Rightarrow \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{-w(8t^2\cdot x_1')}{4t^2\cdot x_1} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \dfrac{dw}{w}=\dfrac{-2x_1'}{x_1}dt \Rightarrow \int\dfrac{dw}{w}=\int\dfrac{-2x_1'}{x_1}dt \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \ln|w(t)|=-2\cdot\ln|x_1(t)|=\ln(|x_1(t)|^{-2}) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow w(t)=\dfrac{1}{x_1(t)^2}=\dfrac{1}{t\cdot(\ln(t))^2}$$ Calculemos una primitiva cualquiera de $w(t)$ para encontrar $u(t)$: $$u(t)=\int\dfrac{1}{t\cdot(\ln(t))^2}dt=\dfrac{1}{\ln(t)}$$ Finalmente: $$x_2(t)=x_1(t)\cdot u(t)=\sqrt{t}\cdot\ln(t)\cdot\dfrac{1}{\ln(t)}=\sqrt{t}$$ Por lo tanto toda solución se escribe como: $$x(t)=C_1\cdot x_1(t)+C_2\cdot x_2(t)=C_1(t)\cdot\sqrt{t}\cdot\ln(t)+C_2(t)\cdot\sqrt{t}$$