Optimización

Al encerrar un espacio con $4$ vallas de $10$m éste tendrá forma de rombo. El problema puede traducirse, matemáticamente, a maximizar el área de un rombo con los lados fijados ($10$m).

Construyo la función a maximizar. Sea un rombo de lado $10$m cuya diagonal 'larga' llamamos $y$, y cuya diagonal corta llamamos $x$. $$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2}$$

Hallo las ligaduras. En este caso la longitud del lado $L$ es nuestra ligadura, pues debe ser siempre $10$m. Debemos pues calcular $L$ en función de las variables $x$ e $y$ e igualarlo a $10$.

Sea $L=10$m el lado del rombo, debemos relacionar $L$ con $x$ e $y$. Usemos el teorema de Pitágoras $$L^2=\Big(\dfrac{x}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{y}{2}\Big)^2 \rightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}=10 \rightarrow y=\sqrt{20^2-x^2}$$

Reescribimos la función $$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2} \rightarrow A(x)=\dfrac{x\cdot \sqrt{20^2-x^2}}{2}$$ Maximizamos. Para ello se iguala la derivada $A'$ a cero. $$A'(x)=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}+x\dfrac{1}{2}(20^2-x^2)^{-1/2}(-2x)}{2}= \dfrac{\sqrt{20^2-x^2}-\dfrac{2x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}}{2}=$$ $$=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$

Hagamos pues el cálculo $$0=A'=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$ $$(20^2-x^2)-x^2=0 \Rightarrow 2x^2=20^2 \Rightarrow x=10\sqrt{2}$$

Se ha resuelto pues que $$x=10\sqrt{2} \ \mbox{m}$$

Encontramos ahora el valor de $y$ $$y=\sqrt{20^2-x^2} \rightarrow y=\sqrt{20^2-10^2\cdot 2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

El rombo de mayor área será el que tenga las diagonales igual de largas, es decir, el jardín deberá tener forma cuadrada. En ese caso, el área será de $100 \ \mbox{m}^2$.