Derivabilidad y su relación con la continuidad

Para estudiar la derivabilidad en $x=1$ debemos hacer las derivadas laterales en $x=1$ y ver si sus valores existen y coinciden.

a) $f(x)=x^3+x-2$

$$f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{(1+\Delta x)^3+(1+\Delta x)-2-1^3-1+2}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3+1+\Delta x-2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\Delta x^3+3\Delta x^2+4\Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0^-}(\Delta x^2+3\Delta x+4)=4$$

$$f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{(1+\Delta x)^3+(1+\Delta x)-2-1^3-1+2}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{1+3\Delta x+3\Delta x^2+\Delta x^3+1+\Delta x-2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\Delta x^3+3\Delta x^2+4\Delta x}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0^+}(\Delta x^2+3\Delta x+4)=4$$

Los dos valores coinciden, pues sobrevive el término independiente $4$ que domina sobre los $m$ posible valores de $\Delta x$. Por lo tanto, esta función es derivable en $x=1$.

Como es derivable podemos afirmar que es continua.

b) $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$$f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\dfrac{\dfrac{1}{(1+\Delta x-1)^2}-\dfrac{1}{(1-1)^2}}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0^-}(\dfrac{\Delta x}{\Delta x^2}-\dfrac{\Delta x}{0})=-\infty$$

$$f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\dfrac{\dfrac{1}{(1+\Delta x-1)^2}-\dfrac{1}{(1-1)^2}}{\Delta x}=$$ $$=\lim_{\Delta x \to 0^+}(\dfrac{\Delta x}{\Delta x^2}-\dfrac{\Delta x}{0})=+\infty$$

Los dos valores no coinciden, o sea que la función no es derivable en $x=1$.

No podemos decir nada de la continuidad en $x=1$.