Unió i intersecció de conjunts

Unió de conjunts

Donats dos conjunts $A$ i $B$, la unió de $A$ i $B$ és $$A\cup B=\{x\in U \ | \ x\in A \ ó \ x\in B\}$$

La unió d'$A$ i $B$, és el conjunt d'elements $x$ de $U$ tal que $x$ pertany a $A$, o que, $x$ pertany a $B$.

L'operació d'unió és associativa, commutativa i té element neutre:

• Commutativa: $A\cup B=B\cup A$

• Associativa: $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$

• Element neutre: $A\cup\emptyset = \emptyset\cup A=A$

La unió de dos conjunts presentada anteriorment pot estendre a diversos conjunts així la unió d'un nombre finit de conjunts ve donada per "unions successives": $$A_1 \cup \ldots \cup A_n = ((A_1\cup A_2)\cup \ldots)\cup A_n)$$

A causa de la propietat associativa qualsevol ordre de "aparellaments" per a realitzar la unió condueix al mateix resultat. La unió de conjunts pot generalitzar també per contemplar la unió d'un nombre infinit de conjunts $A_k$. En aquest cas es defineix: $$\cup_k A_k=\{ x\in U \ | \ \exists k \ : \ x\in A_k$$

Intersecció de conjunts

Donats dos conjunts $A$ i $B$, definim la seva intersecció com $$A\cap B=\{ x\in U \ | \ x\in A \ i \ x\in B\}$$

La intersecció de $A$ i $B$, és el conjunt d'elements $x$ de $U$, tal que, $x$ pertany a $A$, i que, $x$ pertany a $B$.

L'operació intersecció és commutativa, associativa, té element neutre i invers:

• Commutativa: $A\cap B=B\cap A$

• Associativa: $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$

• Element neutre: $A\cap\emptyset=\emptyset\cap A=\emptyset$

• Element invers: $A\cap A^c=A^c\cap A=\emptyset$, on $A^c$ representa el concepte "complementari".

A continuació, hi ha unes propietats que es compleixen entre les interseccions i les unions.

$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

$(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)$ (propietat distributiva respecte de la unió)

$A\cup(A\cap B)=A=A\cap(A\cup B)$ (llei d'absorció)

La intersecció de dos conjunts es pot estendre a un nombre qualsevol de conjunts $$A_1\cap\ldots\cap A_n=((A_1\cap A_2)\cap\ldots)\cap A_n)$$

A causa de la propietat associativa qualsevol ordre de "aparellaments" per a realitzar la unió condueix al mateix resultat. La unió de conjunts pot generalitzar també per contemplar la unió d'un nombre infinit de conjunts $A_k$. En aquest cas es defineix: $$\cap_k A_k=\{x\in U \ | \ \forall k \ : \ x\in A_k\}$$

Per acabar, dos conjunts s'anomenen disjunts si la seva intersecció és nul·la.