Successió monòtona

Els termes d'una successió no tenen, en principi, cap relació ni ordre. En el nivell anterior hem estudiat algunes relacions entre els termes de les successions i en aquest nivell ens centrem en les relacions d'ordre.

Donada una successió $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ diem que és creixent si tot element de la successió és menor que els següents, és a dir, si $a_n \leq a_{n+1}$ per a tot $n$.

Anàlogament diem que és decreixent si tot element de la successió és més gran que els següents, $a_n \geq a_{n+1}$ per a tot $n$.

Una successió que sigui tant creixent com decreixent diem que és constant, ja que llavors $a_n=a_{n+1}$, tots els termes són iguals.

Donada una successió creixent diem que és estrictament creixent si $a_n < a_{n+1}$. I anàlogament una successió decreixent és estrictament decreixent si $a_n > a_{n+1}$.

La successió corresponent a $a_n=n$ és clarament creixent ja que $n < n+1$. De fet és estrictament creixent.

Com a exemple de successió decreixent podem considerar la successió amb terme general $a_n=\dfrac{1}{n}$. Observem que $\dfrac{1}{n} > \dfrac{1}{n+1}$ i la successió és estrictament decreixent.

Una successió constant és de la forma $a_n=c$ on $c$ és un nombre qualsevol. Tota successió constant té aquesta forma.

Aquesta classificació no ha de ser presa com genèrica ja que donada una successió qualsevol no sempre és creixent o decreixent. Per exemple la successió $(0,1,0,1,0,1,\ldots)$ no és ni creixent ni decreixent.

Si una successió és creixent o decreixent llavors direm que és monòtona. Si a més la successió estrictament creixent o estrictament decreixent aleshores l'anomenem estrictament monòtona.

Donada una successió, comprovar si aquesta és creixent o decreixent no representa sempre un problema senzill. Per demostrar aquestes propietats, la manera més evident és també la més útil en la majoria de casos. Ens referim a plantejar la desigualtat de la propietat que vulguem demostrar i a través dels càlculs necessaris comprovar que és certa per a tot $n$. En aquest context, per comprovar si la successió és llavors estrictament monòtona podem reutilitzar els càlculs ja realitzats.

Vegem alguns exemples més complets:

Considerem la successió $a=(n^2-3n)_{n\in\mathbb{N}}$. Anem a veure que la successió és creixent. És a dir, volem comprovar que $$n^2-3n \leq (n+1)^2-3(n+1)$$ Desenvolupant els quadrats tenim $$n^2-3n \leq n^2-n-2$$ i per tant $2\leq2n$, el que és cert per a tot $n\geq1$ i la successió és creixent.

Podem ara comprovar si la successió és estrictament creixent. Repetint els mateixos càlculs a partir de la desigualtat $n^2-3n < (n+1)^2-3(n+1)$ s'obtindria $2 < 2n$, el que és cert només per $n > 1$. És a dir, per $n=1$ no es compleix la desigualtat. Veient els primers valors de la successió veiem el fenomen que es produeix: $$a=(-2,-2,0,4,10,18,\ldots)$$

Considerem ara la successió $b=\Big(\dfrac{n+1}{n^2}\Big)_{n\in\mathbb{N}}$. Vegem que és decreixent. Hem de comprovar que $$\dfrac{n+1}{n^2} \geq \dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^2}$$ Equivalentment, $$(n+1)^2\cdot(n+1)\geq (n+2)\cdot n^2$$ Expandint tenim $$n^3+3n^2+3n+1 \geq n^3+2n^2$$ I s'ha de complir $$n^2+3n+1 \geq 0$$ Per comprovar aquest tipus de desigualtats és suficient comprovar que no hi ha cap nombre enter entre les solucions del polinomi igualat a zero. En el nostre cas les solucions de $n^2+3n+1 =0$ són aproximadament $-2.62$ i $-0.38$. I segons el comentari anterior la desigualtat es compleix i la successió és decreixent.

Per comprovar si ho és estrictament, podem repetir els càlculs fins a obtenir $n^2+3n+1 > 0$ a partir de la condició $$\dfrac{n+1}{n^2} > \dfrac{(n+1)+1}{(n+1)^2}$$ Per comprovar que la successió és estrictament decreixent és suficient veure que les arrels obtingudes anteriorment no són nombres naturals.