Teorema de Rouché-Fröbenius

La condició necessària i suficient perquè un sistema de $m$ equacions i $n$ incògnites tingui solució és que el rang de la matriu dels coeficients $(r)$ i el de la matriu ampliada $(r')$ siguin iguals.

• $r = r'$ Sistema Compatible.
  • $r = r'= n$ Sistema Compatible Determinat.
  • $r = r'\neq n$ Sistema Compatible Indeterminat.
• $r \neq r'$ Sistema Incompatible.

on com dèiem, $r$ és el Rang de la matriu del sistema i $r'$ és el Rang de la matriu ampliada del sistema.

Evidentment per a la correcta utilització d'aquest teorema un ha d'haver assimilat què és i com es calcula el rang d'una matriu.

Quan la part tècnica no és problema, aquest teorema ens permet fer una discussió sobre els sistemes d'equacions.

Vegem el següent exemple:

Sigui el sistema d'equacions: $$\left\{ \begin{array}{c} 2x-y-2z=-6 \\ -x+y+z=4 \\ x-2y+z=0 \\ 2x-2y=-2 \end{array} \right.$$

1. Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$ (i es calcula el rang) $$|2|=2\neq0; \ \ \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right|=1\neq0; \ \ \left| \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{matrix} \right|=2\neq0$$ o sigui, $r(A) = 3$.

2. Es troba el rang de la matriu ampliada.

Es mira la matriu d'ordre $4$ (ja s'ha comprovat que fins ordre $3$ podem trobar alguna matriu amb determinant no nul)

$$|A'|=\left| \begin{matrix} 2 & -1 & -2 & -6 \\ -1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 & -2 \end{matrix} \right|=0$$ o sigui, $r(A')=3=r(A)$.

3. S'aplica el teorema de Rouché: $r(A)=r(A')=n$, i per tant és un Sistema compatible determinat.

4. Es resol el sistema, si aquest no és incompatible, per la regla de Cramer o pel mètode de Gauss.

Prenem el sistema que correspon a la submatriu d'ordre $3$, que té rang $3$, i ho resolem.

$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-y-2z=-6 \\ -x+y+z=4 \\ x-2y+z=0 \end{array} \right.$$ El resolem utilitzant la regla de Cramer:

$$x=\dfrac{\left| \begin{matrix} -6 & -1 & -2 \\ 4 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{matrix} \right|}{2}=\dfrac{2}{2}=1; \ \ y=\dfrac{\left| \begin{matrix} 2 & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right|}{2}=\dfrac{4}{2}=2$$ $$z=\dfrac{\left| \begin{matrix} 2 & -1 & -6 \\ -1 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 0 \end{matrix} \right|}{2}=\dfrac{6}{2}=3$$