Matriu inversa: Mètode per determinants
Hi ha un mètode alternatiu per al càlcul de la matriu inversa al mètode de Gauss. Aquest és molt menys intuïtiu, i pot ser molt més llarg que l'anterior. De tota manera sempre es pot recórrer a ell per ser més directe.
Recordem que donada una matriu $A$, la seva inversa $A^{-1}$ és tal que compleix el següent:
$$A\cdot A^{-1}=I$$
on $I$ és la matriu identitat, amb tots els sus elements nuls excepte 1's a la diagonal principal.
La matriu inversa, la podeu calcular de la manera següent:
$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\cdot(Adj(A))^t$$
La notació és:
$A^{-1} \rightarrow$ Matriu inversa
$|A| \rightarrow$ Determinant
$Adj(A) \rightarrow$ Matriu adjunta
$A^t \rightarrow$ Matriu transposada
Quina és la matriu inversa de la següent matriu?
$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$$
- Calculeu el determinant:
$$|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right|=-1$$
- Calculeu la matriu adjunta
$$Adj(A)=\left(\begin{array}{ccc} +\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| & -\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| & +\ldots \\ -\ldots & +\ldots & -\ldots \\ +\ldots & -\ldots & +\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$
- Transposa la matriu adjunta
$$(Adj(A))^t=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$
que casualment no varia.
- Es calcula la matriu inversa
$$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\cdot\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right)$$