Simplificació d'expressions mitjançant logaritmes

Anem a aprendre a crear i resoldre exercicis sobre l'ús de logaritmes per simplificar expressions.

El següent quocient es podria resoldre perfectament amb una calculadora i una mica de paciència:

$$\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}$$

Però el maneig de nombres tan grans, com un exponent $15$ i un altre $37$, se simplifica en aplicar logaritmes.

Sabem que en usar logaritmes, un producte de nombres es transforma en suma, un quocient en resta i una potència en producte.

Per això l'exemple anterior es pot resoldre aplicant logaritmes decimals.

$$log\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}=\Big(log7^{15}+log5^{\frac{2}{3}}\Big)-\Big(log9^{\frac{3}{4}}+log3^{37}\Big)=$$ $$=(15\cdot log7+\dfrac{2}{3}\cdot log5)-(\dfrac{3}{4}\cdot log9+37\cdot log3)\simeq$$ $$\simeq(15\cdot0,845 +\dfrac{2}{3}\cdot0,699)-(\dfrac{3}{4}\cdot0,954+37\cdot0,477)\simeq$$ $$\simeq12,675+0,466-0,716-17,649\simeq -5,224$$

Cal recordar que aquest resultat és l'exponent al qual cal elevar $10$ (ja que s'han fet servir logaritmes decimals) per aconseguir el quocient de potències inicial, de manera que:

$$\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}\simeq 10^{-5,224}\simeq 5,97\cdot 10^{-6}$$

L'expressió següent també es pot simplificar utilitzant logaritmes:

$$\dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}$$

Concretament, es pot aplicar el logaritme en base $x$, amb el que s'aconsegueix expressar el número a la mateixa base i simplificar així el quocient:

$$log_x \dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}=log_x x - \Big(log_x 2x - log_x x^{\frac{1}{3}}\Big)=$$ $$=1-2-\dfrac{1}{3}=-1-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3}$$

El resultat obtingut serà el número al qual caldrà elevar $x$, ja que s'ha utilitzat la incògnita com a base del logaritme, de manera que:

$$\dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{4}{3}}$$

Aquesta capacitat de simplificar els càlculs dels logaritmes també pot traslladada a l'àmbit de les equacions. Pot resultar útil, Per exemple, quan la incògnita es troba en forma d'exponent.

En l'equació $2^x=10$

Si s'afegeixen logaritmes a banda i banda de la igualtat s'obté

$$log2^x=log10 \Rightarrow x\cdot log2=log10 \Rightarrow x=\dfrac{1}{log2}\simeq\dfrac{1}{0,301}\simeq 3,322$$

Per la propietat de la potència d'un logaritme és fàcil aillar $x$ d'una expressió com l'anterior, i d'aquí la seva utilitat.