Propietats del producte i el quocient de logaritmes

Anem a aprendre a crear i resoldre exercicis basats en les propietats del producte i el quocient dels logaritmes.

Una propietat dels logaritmes és que: $$log_a (x\cdot y)=log_a x+log_a y$$

O, dit d'una altra manera, el logaritme del producte de dos nombres és la suma dels logaritmes dels nombres.

$$log_2 (8\cdot64)=log_2 8+log_2 64=log_2 2^3+log_2 2^6=3+6=9$$

Així mateix:

$$log_5 (125\cdot625)=log_5 125+log_5 625=log_5 5^3+log_5 5^4=3+4=7$$

Si quan es té un producte de logaritmes se suma, quan es tracta d'un quocient cal restar, de manera que una segona propietat dels logaritmes consisteix en que: $$log_a \dfrac{x}{y}=log_a x - log_a y$$

O, en altres paraules, el logaritme del quocient entre dos nombres és igual al logaritme del numerador menys el logaritme del denominador.

$$log_3 \dfrac{9}{81}=log_3 9-log_3 81= log_3 3^2-log_3 3^4=2-4=-2$$

Així mateix:

$$log_{10} \dfrac{0,001}{0,01}=log_{10} 0,001-log_{10} 0,01= log_{10} 10^{-3}-log_{10} 10^{-2}=-3+2=-1$$

La base de l'últim exemple $(10)$ és molt comú. De fet, és un dels dos tipus de logaritmes que calculen directament les calculadores científiques de butxaca. S'anomena logaritme decimal i s'acostuma a abreujar com log, sense necessitat d'especificar la base.

Un altre tipus de logaritme molt comú és el natural o neperià, que té com a base el nombre $e$ i s'abreuja $ln$.

Les propietats del producte i del quocient dels logaritmes poden combinar-se per reduir expressions.

Per exemple, es pot agrupar la següent expressió en un sol logaritme: $$ln127-ln481-ln7+ln74$$ Primer s'agrupen els elements amb el mateix signe: $$(ln127+ln74)-(ln481+ln7)$$ En aplicar les propietats del producte i del quocient s'obté que: $$(ln127+ln74)-(ln481+ln7)=ln(\dfrac{127\cdot74}{481\cdot7})$$

L'expressió següent resumeix les propietats dels logaritmes vistes fins al moment. Cal intentar reduir l'expressió a un sol logaritme: $$log10^{-2}-log\dfrac{3}{4}+log13^{\frac{1}{3}}-log5$$ Primer s'agrupen els elements amb el mateix signe:

$$\Big(log10^{-2}+log13^{\frac{1}{3}}\Big)-\Big(log\dfrac{3}{4}+log5\Big)$$

Ara s'apliquen les propietats del producte, quocient i la potència d'un logaritme: $$\Big(log10^{-2}+log13^{\frac{1}{3}}\Big)-\Big(log\dfrac{3}{4}+log5\Big)=log\dfrac{10^{-2}\cdot13^{\frac{1}{3}}}{\dfrac{3}{4}\cdot5}=$$ $$=-2\cdot\dfrac{1}{3}log\dfrac{1\cdot13}{\dfrac{15}{4}}=-\dfrac{2}{3}log\dfrac{52}{15}$$

Cal remarcar que les propietats producte i quocient dels logaritmes es deriven directament de les propietats corresponents de les potències: $$log_a (x\cdot y)=log_a x+log_a y$$ Perquè $a^n \cdot a^m=a^{n+m}$, i és que aplicar logaritmes implica calcular $n$ i $m$.

Per altra banda: $$log_a \dfrac{x}{y}=log_a x-log_a y$$ ja que $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$