Indeterminació infinit menys infinit
Suposem que:
$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}= \pm \infty$ i $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}= \pm \infty$$
llavors tenim que:
$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)-g(x)=(\pm \infty) - (\pm \infty)}$$
i així obtenim una indeterminació.
Per resoldre aquest límit tenim tres opcions:
- 1.- Quan es veu el límit a simple vista: De vegades es veu directament que un dels dos infinits és de major ordre que l'altre:
- $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x-2^x}=-\infty$
- $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}}- \ln(2x-1)\Big)}=+\infty$
- 2.- Quan es pot simplificar l'expressió: Una altra opció és fer la resta i obtenir una sola expressió on probablement tindrem una indeterminació del tipus infinit partit per infinit, la qual ja sabem resoldre.Vegem un exemple:
$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{2x^2-5x}{x+3} -2x\Big)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x^2-5x-2x \cdot (x+3)}{x+3}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-11x}{x+3}}=-11$$
- 3.- Quan apareixen radicals: Si tenim $f(x)$ or $g(x)$ amb una arrel quadrada no és fàcil deduir el límit.
Una opció és sumar les expressions de la següent manera:
$$f(x)-g(x)=(f(x)-g(x)) \cdot \frac{f(x)^2+g(x)^2}{f(x)+g(x)}$$
i obtenir una expressió de la qual sapiguem resoldre el límit .Vegem un exemple:
$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt{x^2-2}-x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(\sqrt{x^2-x}-x)\cdot(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+2}}=$$
$$=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}}=$$
$$=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x}{x^{\frac{2}{2}}+x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x}{2x}}=\frac{-1}{2}$$