Inequacions de primer grau

Una inequació és una expressió algebraica formada per nombres, una variable que anomenarem $x$ i un símbol de desigualtat.

Exemples d'inequacions serien:

  1. $x < 2$

  2. $4x+2\geqslant -1$

  3. $-x > -3+2x$

Diríem en aquests casos que la inequació 1 ja estaria resolta, ja que si $x$ pren valors menors que $2$ sempre es complirà la desigualtat, i que les inequacions 2 i 3 s'haurien resoldre, és a dir, trobar per a quins valors de $x$ es compleixen les inequacions respectives.

Solució d'una inequació

Donada una inequació, considerarem que l'hem resolt quan trobem una expressió del tipus $x < a$, $x > a$, $x\leqslant a$ o $x\geqslant a$, on $a$ denota un número concret. Al trobar aquesta expressió ja podrem dir que perquè la inequació sigui certa, $x$ ha de complir la condició trobada i considerarem que hem resolt la inequació.

A continuació podem veure exemples de solucions d'inequacions: $$x < 2, \ x > 3, \ x\leqslant -1, \ x\geqslant 6$$

També serien exemples de solucions: $$2 < x, \ -1\geqslant x$$

ja que per la propietat de simetria de les desigualtats, són equivalents a $$x > 2, \ x\leqslant -1$$

Resolució d'inequacions

De la mateixa manera que s'aprèn a resoldre equacions de primer grau, anem a aprendre ara a resoldre inequacions de primer grau.

El mètode per resoldre aquestes inequacions és el mateix que per resoldre equacions, tot i que hi ha petites variacions.

Per començar, veiem l'analogia que hi ha entre resoldre una equació de primer grau i una inequació de primer grau:

Prendrem l'equació $2(x-5)=2$ i la inequació $2(x-5)\geqslant 2$.

Resolem l'equació: $$ 2(x-5)=2 \Rightarrow 2x-10=2 \Rightarrow 2x=2+10 \Rightarrow 2x=12 \Rightarrow x=\dfrac{12}{2} \Rightarrow x=6 $$

i diem que la solució és $x=6$.

D'altra banda, resolguem la inequació: $$ 2(x-5)\geqslant2 \Rightarrow 2x-10\geqslant2 \Rightarrow 2x\geqslant2+10 \Rightarrow 2x\geqslant12 \Rightarrow x\geqslant\dfrac{12}{2} \Rightarrow x\geqslant6 $$

i diem que la solució és $x\geqslant6 $, és a dir, $x$ pot prendre qualsevol valor que sigui major o igual a sis.

Fixem-nos que el mètode de resolució ha estat el mateix per als dos problemes, llavors, on es diferencia el procés de resolució d'una inequació i una equació?

Per respondre a aquesta pregunta vegem com es comporten les desigualtats respecte a l'addicció (sumar) i sostracció (restar) i a la multiplicació i divisió per un nombre.

Addicció i substracció

Suposem que $A$, $B$ i $C$ són tres números qualssevol, llavors:

si $A < B \Rightarrow \left{ \begin{array}{l} A+C < B+C \ A-C < B-C \end{array} \right. $

si $A > B \Rightarrow \left{ \begin{array}{l} A+C > B+C \ A-C > B-C \end{array} \right. $

Com veiem, podem sumar o restar un mateix valor a cada costat de la desigualtat sense tenir problemes amb el símbol de la desigualtat.

Aquesta propietat ja ens era coneguda en el tema de les equacions, ja que podíem sumar o restar un mateix valor a cada costat de la igualtat.

El que ens permet aquesta propietat és sumar i restar un mateix valor a cada costat d'una desigualtat d'una inequació, podent així aïllar la variable $x$ en un costat de la inequació.

Donada la inequació $x+3 < 4$, anem a resoldre: $$ x+3 < 4 \Rightarrow x+3-3 < 4-3 \Rightarrow x < 4-3 \Rightarrow x < 1 $$

Multiplicació i divisió

En multiplicar i dividir per un valor una inequació pot que provoqui un canvi de símbol en la desigualtat: de menor que a més gran que o al revés (igual amb més petit o igual que i a l'inrevés).

Suposem doncs que $A$, $B$ i $C$ són tres números qualssevol, llavors:

El perquè hi ha un canvi en l'ordre de la desigualtat si multipliquem i dividim per un nombre negatiu ho veurem clarament en un exemple:

Prenguem $A = 2$ i $B = 3$ (tenim $A < B$ perquè $2 < 3$), llavors, multipliquem per $(-1)$ i obtenim: $$\left. \begin{array}{l} 2\cdot (-1)=-2 \\ 3\cdot (-1) =-3 \end{array} \right\} \Rightarrow -2<-3 \ \text{ FALS, } \ -2 > -3 \ \text{ CERT}$$

i veiem que hem hagut de canviar l'ordre de la desigualtat perquè l'expressió continuï sent certa.

Aquesta propietat ens permetrà multiplicar i dividir per un mateix valor als dos costats d'una inequació (molt semblant a com ho fèiem amb les equacions), i així podrem aïllar la nostra variable $x$ sense problemes en un dels costats de la inequació.

Donada la inequació $3x < 6$, anem a resoldre: $$ 3x < 6 \Rightarrow \dfrac{3x}{3} < \dfrac{6}{3} \Rightarrow x < \dfrac{6}{3} \Rightarrow x < 2$$

Donada la inequació $-2x < 4$, anem a resoldre: $$ -2x < 4 \Rightarrow \dfrac{-2x}{-2} > \dfrac{4}{-2} \Rightarrow x > \dfrac{4}{-2} \Rightarrow x > -2$$

Ara que ja sabem com sumar i restar, multiplicar i dividir els dos costats d'una inequació per un valor concret, ja som capaços de resoldre qualsevol inequació de primer grau.

Practicar exercicis